文/郑希莺
【摘 要】随着新课改的推进，函数的综合问题仍是历年高考的重点和难点之一，特别是函数与导数大题中经常出现有关函数不等式的证明，用于考查学生的推理论证及运算求解能力。通过对历年试题背景的研究发现了高等数学知识中泰勒公式的身影，本文就泰勒展开式在解决函数不等式的相关问题进行剖析。
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关键词 泰勒公式；余项；麦克劳林公式；函数不等式；放缩
函数不等式是一类以函数的基础知识为背景结合导数知识的不等式，解题时往往以不等式和导数为工具，通过逻辑推理来解决问题。正所谓：“不畏浮云遮望眼，只缘身在最高层”，如果没有站在相应高等数学知识的高度，那么就很难看透问题的本质，更无法帮助学生揭开高考数学难题的神秘面纱。
徐国君通过对2010年与2011年数学高考题的研究，主要是通过泰勒展开式得到不等式ln(x+1)≤x≤ex-1，并对其进行巧妙的应用，大多数文章也是阐述类似的应用。本文将对ex、ln(1+x)及cosx等的n阶展开式在高考中的精妙应用进行进一步剖析，以期能为函数不等式的证法注入活力。
泰勒公式形式1[1]：若函数f(x)在点x0存在n阶导数,则有
这里o((x-x0)n)为皮亚诺型余项,称(1)式为函数f(x)在点x0的泰勒公式。
称此式为(带有皮亚诺余项的)麦克劳林公式。
泰勒公式形式2[1]：若函数f(x)在含有x0的某区间(a,b)内存在n＋1阶导函数,则有
称此式为(带有拉格朗日余项的)麦克劳林公式。
一、初步探究
例1、（2012年辽宁高考数学理科第12题）若x∈[0,+∞)，则下列不等式恒成立的是（ ）
说明：高考的标准答案是利用导数公式，通过函数的单调性与最值来证明不等式恒成立。
例2、（2013年全国卷新课标Ⅱ理科第21题）已知函数f(x)=ex-ln(x+m)．
(1)设x＝0是f(x)的极值点，求m，并讨论f(x)的单调性；
(2)当m≤2时，证明f(x)＞0。
解：（1）略。
（2）当m≤2,x∈(-m,+∞)时ln(x+m)≤ln(x+2)
故只需证当m=2时f(x)>0即ex>ln(x+2)
显然，由泰勒展开式易得ex≥x+1（当且仅当x=0时取“=”）ln(x+2)≤x+1（当且仅当x=-1时取“=”）
∴ex≥ln(x+2)即当m≤2时，f(x)>0。
说明：显然利用泰勒展开式的适当放缩与变形来解决这样问题非常轻松。
二、深入探索
例3、（2013年辽宁高考数学理科第21题）
（1）证明：①要证f(x)≥1-x,x∈[0,1]，即证(1+x)e-2x≥1-x
说明：上述的证法主要采用ex的泰勒展开式进行适当的变形与放缩，使得整个解答过程自然流畅，当然本题也可采用构造函数法利用导数来证明。
【分析：对于式子中含有e-2x，cosx之类的超越不等式恒成立问题，如果直接采用构造函数法求导难度较大，最直接的想法是如何将超越不等式通过泰勒展开式的放缩转化为代数不等式来处理，因此容易想到从cosx的三阶泰勒展开式入手进行放缩。】
所以当a≤-3时，f(x)≥g(x)在[0,1]上恒成立。
另一方面，当a>-3时
综上所述：实数a的取值范围是(-∞,-3]。
说明：本题也可采用第一题的结论进行转化，再通过适当的构造函数并利用导数进行转化来求解，解决过程可谓是一波三折。而利用泰勒展开式来解决此题那就会有高屋建瓴之势，所有的过程演绎将会有一种水到渠成的感觉。
三、解法应用
例4、（2014年全国卷Ⅰ（理21））
(1)求a,b；（2）证明：f(x)>1。
例5、（2013年清华大学等“华约”自主招生考试）
(1)求证：当x>0时，f(x)<0；
总之，从以上具体实例发现，利用泰勒展开式来解决高考函数中的有关不等式问题主要是实现将超越不等式向代数式不等式的转化，既简化了运算过程又为高考函数的不等式题的解法注入了新的活力并展现泰勒展开式的魅力。
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参考文献
[1]陈传璋.数学分析（上册）[M].北京:高等教育出版社，1983
[2]徐国君.例谈泰勒展开式及其应用—数学教学通讯[J].数学教学通讯，2012
[3]薛金星.2013年全国及各省市高考试题全解（数学卷）[M].陕西人教出版社，2013
（作者单位：厦门海沧实验中学）
