利用点列共线证明等差数列的性质

  • 投稿江湖
  • 更新时间2015-08-30
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江西省吉安师范学校(343000)邹玲傅金梅

等差数列的通项可以表示为an=dn+(a1-d),从函数的观点看,点列(n,an)在直线y=kx+b(k=d,b=a1-d)上。故有下面的命题:

命题若{an}是等差数列,则点列(n,an)在同一条直线上。

设Sn是等差数列的前n项和,易证Snn为等差数列。由命题知下面的推论成立。

推论设Sn是等差数列的前n项和,则点列n,Snn在同一条直线上。

下面利用上述命题与推论,巧证等差数列的几个性质。

设ap,aq,ar是等差数列{an}的任意三项,则点(p,ap),(r,ar),(q,aq)共线,∵由定比分点坐标公式有r=p+λq1+λ,

ar=ap+λaq1+λ,∴ar=(r-q)ap-(r-p)aqp-q(*)。

当r=p或r=q时,(*)式也成立,这表明当r∈N?时(*)式都成立。

由(*)式易得以下几个有趣的性质:

性质1在等差数列{an}中,若ap=q,aq=p,p≠q,则ap+q=0。

性质2在等差数列{an}中,若ap=q2,aq=p2,p≠q,则ap+q=-pq。

性质3在等差数列{an}中,若ap=1q,aq=1p,p≠q,则ap·q=1。

性质4在等差数列{an}中,若p+q=r+s,则ap+aq=ar+as。特别地,当

p+q=2m时,有ap+aq=2am。

证明:点(p,ap),(q,aq),(r,ar),(s,as)共线,设直线方程为y=kx+b,则

ap=kp+b,aq=kq+b,ar=kr+b,as=ks+b,∴ap+aq=k(p+q)+2b,

ar+as=k(r+s)+2b,∵p+q=r+s,∴ap+aq=ar+as。

显然,当r=s=m,即p+q=2m时,有ap+aq=2am。

推广1在等差数列{an}中,若p1+p2+…+pi=r1+r2+…+ri,则

ap1+ap2+…+api=ar1+ar2+…+ari。特别地,当p1+p2+…+pi=im时,有

ap1+ap2+…+api=iam。

推广2在等差数列{an}中,若

p1+p2+…+pii=r1+r2+…+rjj,则

ap1+ap2+…+apii=ar1+ar2+…+arjj。

性质5设Sn是等差数列的前n项和,若p≠q,则Sp+q=p+qp-q(Sp-Sq)。

证明:∵点p,Spp,q,Sqq,p+q,Sp+qp+q共线,∴Sp+qp+q-Sqq(p+q)-q=Spp-Sqqp-q,化简整理,得Sp+q=p+qp-q(Sp-Sq)。

推论1设Sn是等差数列的前n项和,若Sp=Sq,p≠q,则Sp+q=0。

推论2设Sn是等差数列的前n项和,若Sp=q,Sq=p,p≠q,则

Sp+q=-(p+q)。

在性质5中,令p=i,q=i-1,i∈N*,且i>1,得S2i-1=(2i-1)(Si-Si-1),即S2i-1=(2i-1)ai。当i=1时,S2i-1=(2i-1)ai显然成立;在性质5中,令p=i+1,

q=i-1,同理可得S2i=i(ai+ai+1)。于是有

推论3设Sn是等差数列{an}的前n项和,则S2i-1=(2i-1)ai。

推论4设Sn是等差数列{an}的前n项和,则S2i=i(ai+ai+1)。

在性质5中,令p=2i,q=i,得S3i=3(S2i-Si),即2(S2i-Si)=Si+(S3i-S2i),也就是

推论5设Sn是等差数列的前n项和,则Si,S2i-Si,S3i-S2i成等差数列。