江苏省海州高级中学(222023)刘希栋
在数学教与学的过程中，小题大做与小题小做各有所长，但考试时小题大做在时间和精力等方面很不经济，应力求小题小做。下面通过例子介绍向量试题小题小做的方法和策略。
一、巧妙运用对称性
例1（2009安徽高考理科试题）给定两个长度为1的平面向量OA→和OB→，它们的夹角为120°。图1所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上变动。若OC→=xOA→+yOB→,其中x,y∈R,则x+y的最大值是。
解：以点O为原点，∠AOB的平分线为y轴，建立平面直角坐标系，如图2，则OC→=xOA→+yOB→=(32(x－y),12(x+y))，又点C纵坐标最大值为1，故x+y的最大值是2。
图1图2
二、运用特殊化策略
例2（2006湖南高考理科试题）如图3,OM∥AB,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域内（不含边界）运动,且OP→=xOA→+
yOB→,则x的取值范围是；当x=－12时,y的取值范围是。
图3图4
分析：在OP→=xOA→+yOB→（OA→,OB→不共线）时研究实数对(x,y)，可以判断无论不共线向量OA→，OB→的相对位置如何，结论都应该是确定的，因而可将向量OA→，OB→视作垂直的单位向量（特殊化），将问题置于平面直角坐标系中来研究。
点P所在的区域如图4阴影部分（不含边界）所示，其中直线OM的方程为x+y=0，直线AB的方程为x+y=1，实数对(x,y)满足的条件为x<0，y>0，0<x+y<1。
x的取值范围是x<0；当x=－12时,y的取值范围是12<y<32。
用同样的方法可快速解决下面的试题：
例3（2010安徽江南十校）如图5，点P是线段OB及线段AB的延长线所围成的阴影区域（含边界）内的任意一点。且OP→=xOA→+yOB→，实数对(x,y)所表示的区域在直线y=4的下侧部分的面积是。
解：按例2的处理方法，点P所在的区域即为图6所示，其中直线AB的方程为x+y=1，
实数对(x,y)满足的条件为x<0，y>0，x+y≥1。在直线y=4的下侧部分（图7）的面积是92。
图5图6图7
例4ΔABC中，OC→=14OA→,OD→=12OB→，AD与BC交于点M，设OA→=a→,OB→=b→。
（1）OM→=（用a→,b→表示）；
（2）分别在线段AC、BD上取一点E和F，使EF过M，设OE→=λOA→,OF→=μOB→，则λ,μ满足的关系式为。
解析：在向量OA→,OB→不共线的情况下，研究OP→=xOA→+yOB→中实数对(x,y)，我们可以将问题置于平面坐标系中来研究。
图8如图8，分别以OA,OB为x,y轴建立平面坐标系，
（1）记点A(1,0)，B(0,1)，依题意点C(14,0)，点D(0,12)，直线AD的方程为x+2y=1，直线BC的方程为4x+y=1，解方程组x+2y=1，
4x+y=1，得x=17，
y=37，点M(17,37)，所以OM→=17a→+37b→。
（2）由题意，知点E(λ,0)，点F(0,μ)，直线EF的方程分别为xλ+yμ=1，而EF过M点，所以，17λ+37μ=1，这就是所求λ,μ满足的关系式。
需要强调的是：与向量夹角或模有关的问题（含向量数量积）不宜用该方法。
\[1\]康小峰。一道值得欣赏的高考题\[J\]。中学数学研究（江西）,2010,04。
\[2\]张忠旺。数学客观题求解的难与易\[J\]。高中数学教与学,2010,03。
\[3\]乔爱萍。合理表征把握本质\[J\]。高中数学教与学,2010,04。
