从“数学思考”走向“哲学思维”

  • 投稿柏舟
  • 更新时间2018-02-06
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  摘要:图形思考是数学抽象、数学推理、数学模型等基本数学思想的集中反映,是最具数学特色的思维方式。《数与形》是综合运用知识经验进行问题解决发展数学思考的一节应用实践课。本案例设计的系列教学环节,试图借助图形直观感受“数”与“形”之间的联系,把图形不仅作为一种数学语言、数学工具,同时更作为一种数学方法、数学思维方式,以帮助学生直观地理解、分析和解决问题,在感悟数形结合思想的过程中,体会數与形作为一种存在方式和表现方式,既是数学的,也是世界的。
 
  关键词:数与形数形结合思想数学思考哲学思维
 
  “数与形”是人教版小学数学六年级上册教材第八单元“数学广角”的新增部分,学习内容相对独立,思维性也比较强。教材分两个例题进行编排,“例1”是发现图形中隐含着数的规律,利用数的规律解决图形的问题,是用“数”来解决“形”的问题。“例2”是利用图形直观地解释一些比较抽象的数学原理、事实和思想,是用“形”来解决“数”的问题。“例2”试图通过一道特殊的分数加法的计算,让学生进一步体会数与形之间的内在联系,借助“形”沟通加法与减法的关系及理解“无限接近1”,并能把数形结合的思想迁移到解决一些实际问题,培养几何直观,发展数学思考,帮助学生积累思维活动经验。学生对于结合“形”来分析问题有一定的零散经验,如在第一学段要求学生通过观察形,发现其中的一些规律,并解决简单的问题。另外,在课堂学习中也曾运用图形解释抽象的数学原理和事实的情况,如利用小棒、计数器模型来认识抽象的数,利用点子图来理解整数乘法的算理,借助线段图来理解分数除法的算理,借助面积模型来解释分数乘法的算理、运算律等,这是本课教学的起点。但以传统的教学审视,“例2”以及后面编排的几道习题都属于思维训练题甚至数学竞赛题,是供学有余力的学生学习的,对普通学生来说要求相对偏高。
 
  一、课前调研
 
  课前,笔者调查了一个班的40名学生,调查内容为:0.9+0.09+0.009+……=?请用你喜欢的方式解释结果。前测数据显示,认为结果是“0.999……”的学生占62.5%,认为结果是“1”或“无限接近于1”的学生占30%,认为“结果无法表示”或“不会解答”的学生占7.5%。其中,仅有15%的学生能够主动联想到运用图形(长方形或正方形面积模型、线段长度模型)对运算的过程与结果做出合理性解释。这表明,大部分学生没有主动运用图形来描述、分析和解决问题的意识,没有体会到将图形应用于数学思考的价值。根据以往的教学经验,学生学习本课的最大难点是“为什么12+14+18+116+132+164+……结果无限趋近于1或者就是1”,学生对于极限思想的体会是个很重要的思维卡点。另一个难点是,学生很难想到借助“形”沟通加法与减法的关系及理解“无限接近1”,这种几何直观的数学思考是学生需要跨越的一个障碍。
 
  二、教学目标
 
  基于教学内容分析及课前调研,笔者确定了如下教学目标:
 
  1.在解决“数”的问题情境中,借助“形”(面积模型、线段图等)来直观感受与“数”之间的关系,体会有时“形”与“数”能互相解释,并能借助“形”解决一些与“数”相关的问题。
 
  2.经历运用数与形结合来分析思考数学问题的过程,在“观察—猜想—关联—操作—论证—归纳”等数学活动中,通过撬动数与形的关系链接发展数学思考,感悟数形结合的思想方法,提高问题解决的能力。
 
  3.感悟数形结合的思考价值,培养独立思考、合作交流、反思质疑的习惯,感受到问题研究的乐趣,喜欢数学,喜欢思考。
 
  三、教学重难点
 
  教学重点:借助“形”感受与“数”之间的关系,用数形结合的思想方法解决数学问题。
 
  教学难点:体会极限思想,感悟图形作为数学思考的价值。
 
  四、教学流程
 
  (一)数形互猜活动,初步感受关联
 
  1.依次出示3个图形(见图1、图2、图3)。
 
  提问:看到它们,你能想到哪个数?
 
  预设:第1个图形:5、15……第2个图形:3.5、312……第3个图形:14、0.25……
 
  2.再依次出示下面3个数:
 
  提问:看到它,你又能想到什么样的图形?
 
  预设:第1个数:半径为2的圆、直径为4的圆;第2个数:边长为5的正方形;第3个数:棱长为6的正方体。
 
  小结:通过刚才的互猜游戏,看到图形我们能联想到数,看到数我们还能联想到图形。看来,数与形之间有一定的紧密联系。今天,我们就一起来研究数与形之间的奥秘。
 
  【设计意图:从图形联想到数,再从数联想到图形,经历“抽象—直观”互相解释的过程,初步感受“数”与“形”之间的关联,突破数形认知转换的障碍,为后续数学问题的解决埋下伏笔。】
 
  (二)运算问题解决,建立数与形的关联,感悟数形结合的数学思考价值
 
  1.计算分数加法,发现与应用模式。
 
  出示12+14,提问:谁会口算?
 
  出示12+14+18,再问:这个呢?
 
  出示12+14+18+…,追问:如果继续加,你猜接下来会加多少?
 
  预设:116。
 
  追问:你怎么看出来的?
 
  预设:发现后面一个分数是前面一个分数的12,所以第四个数应是116。
 
  提问:如果按这个规律加下去,接下来该加多少?
 
  【设计意图:在分数加法的计算中,让学生经历发现、应用数学模式(即规律)的过程,学生通过观察发现加数有规律,和也有规律。在数学学习中,要善于发现数(或形)中的规律,只有发现了规律,才能进一步应用规律。】
 
  出示12+14+18+116+132,提问:这个算式会算吗?说说你是怎么算的?
 
  预设1:通分,1632+832+432+232+132=3132。
 
  预设2:发现不管怎么加,最后一个分数的分母减1就是分子。最后一个分数是132,结果的分母是32,32-1=31,分子是31,结果就是3132。
 
  预设3:发现结果与最后一个分数有关系,都是1减去最后一个分数。原式可以写成1-132,得3132。
 
  预设4:后面的分数依次是前面分数的12,可以画图表示……
 
  【设计意图:在寻找数学模式时,不同的学生思考问题的角度不同,找到的规律也不同。利用若干个数、式中存在的有限规律,通过推理得到一般性的结论,再把这一结论应用到所有符合这一模式的情形中去,这是一种典型的归纳推理的思想和方法。本环节设计重在让学生体会这一思路。】
 
  2.借助图形沟通分数加减法的联系。
 
  课件动态演示,如图4。
 
  提问:12+14+18+116+132这个算式在图中表示的是什么?
 
  预设:涂色部分的面积。
 
  提问:1-132在图中又表示什么?
 
  预设:“1”表示整个正方形的面积,“132”表示空白部分的面积,“1-132”表示整个正方形的面积减去空白部分的面积,也就是涂色部分的面积。
 
  提问:要求涂色部分的面积可以怎么算?
 
  预设:1-132。
 
  【设计意图:借助面积模型图(形)直观感受与数(式)之间的关系,体会形与数之間可以互相表达、解释,在数与形之间建立关联,在问题解决中初步感悟数形结合的思想方法,经历数学中几何直观的过程,初步体会数形结合的好处。】
 
  3.感悟极限思想。
 
  提问:12+14+18+116+132这个算式还能继续往下加吗?
 
  提问:这个算式如果继续不停地加下去,加不加得完?
 
  预设:还能加,永远加不完。
 
  提问:12+14+18+116+132+164+…,像这样一个加不完的算式,你猜一猜最终的结果会是多少?
 
  预设:n-1n;1-1n;1-12n;1。
 
  【设计意图:猜想是数学思考和创新意识培养的必备前提,让学生联系已有的活动经验经历数学猜想的过程,从而提高后续验证的科学性。】
 
  追问:能不能在学习单上画个图,用“形”来证明你的猜想,把你的思考过程画下来。
 
  出示思考题(见图5):
 
  12+14+18+116+132+
 
  164+…
 
  要求:
 
  (1)先猜一猜和是多少?
 
  (2)再尝试用“形”来解释你的想法。
 
  学生先独立思考操作、解释、论证,再小组交流,教师巡视指导,与小组学生交流,完成快的高效能小组带着本组的思考成果下座位与其他小组同学交流。
 
  【设计意图:小组合作学习的前提一定是个体独立思考。在前期“以形助数”活动经验积累的基础上,出示研究活动“学习单”,使得无论是能力强还是能力弱的学生都能明确研究对象、研究任务、有效的研究方法和最终的检查方式,进而在独立思考、小组交流后全班汇报时,组织条理清晰的表述模式和表述语言,即儿童个体数学表达结构的建立,这无疑是一次思维的巨大提升。】
 
  学生反馈——预设1:正方形图;预设2:圆形图;预设3:长方形图;预设4:线段图。
 
  【设计意图:尊重学生多样化的图示论证方法,尊重学生数形结合的多元思维表达方式,学生质疑、争论的焦点是图形无限地分下去算式的最终结果到底是不是1,即使有了图形的直观支持,仍有学生对算式的最终结果为1这一事实难以理解,这是十分正常的,这也恰恰是极限思想的精髓、数学思考的魅力所在。】
 
  课件辅助演示,见图6。
 
  提问:式子中减去的1n或12n在图中表示的是什么?
 
  预设:空白部分的面积。
 
  追问:如果继续往下加,空白部分会怎么样?
 
  预设:空白部分会越来越小(理解12n无穷小)。
 
  启发:还能否往下加?如果再继续无休止地加下去,空白部分最终会怎么样?
 
  预设:空白部分最终会被涂色部分填满。
 
  引导学生发现:不停地加下去,空白部分会越来越小,小到看不见,无限接近于0;涂色部分越来越大,大到最终充满整个正方形,结果无限接近于1。
 
  课件继续演示,见图7。
 
  提问:加到132,还要继续加吗?能不能停下来?
 
  提问:不断地加下去,这条线段会怎么样?长到哪里?
 
  预设:线段继续延长,长到最终充满整条线段,结果无限接近于1。
 
  【设计意图:极限思想是学生理解的最大难点。无论是学生独立论证小组交流,还是必备的课件动态演示,目的是借助图形沟通关系、一目了然、关注变化,刻画运算连续性中的变化,即图形中空白部分与涂色部分的面积的变化,理解“无限”与“无穷小”,理解变化中“无限”才能理解“有限”,从而理解运算的结果“无限接近1”,让学生在建立关联中感悟这种极限思想,进而再次深入体会数形结合数学思考的精彩之处。】
 
  回顾:刚才我们是怎么解决数的运算问题的?
 
  小结:我们通过图形发现,像这样一个算式1632+832+432+232+132可以转化成一个简单的算式1-132来算,我们又借助正方形图、线段图、圆形图等发现这样一个无止境的算式,它的最终结果无限接近1。
 
  启发:借助图形解决数学问题有什么精彩之处?
 
  小结:这样复杂的计算如果借助图形来解释就会变得直观、简单。看来数与形的联系非常紧密,形不但赋予了数实际意义,也给了数鲜活的生命。
 
  【设计意图:回顾“以形助数”解决数学问题的意义,体会图形的力量,感受数形结合思考的价值,培养学生归纳、概括的数学能力。】
 
  (三)唤醒链接,拓展贯通,感悟数形结合思考的价值
 
  过渡:其实,像这样借助数与形紧密关联的方法来解决问题的情况在我们小学阶段以往的数学学习中并不陌生。回想一下,在哪里见过?举例说明。
 
  课件依次演示(见图8、图9):
 
  小结:有的时候,利用图形来直观地解释一些比较抽象的数学原理与事实,让人一目了然。比如,利用小棒、计数器模型来认识抽象的数,利用点子图来理解整数乘法的算理,借助线段图来理解分数除法的算理,借助面积模型来解释分数乘法的算理、乘法分配律等。
 
  【设计意图:回顾小学阶段六年数学学习中用“形”来解决“数”的问题,唤醒以往散落的知识经验的记忆,以成体系,感受图形在问题解决中的价值,使抽象的数学原理与事实变得直观、简明,体会数学中不同表现方式的关系,体会数形结合思考的意义。】
 
  提问:有认识的吗?这个公式主要讲述了一件什么事情?
 
  预设:勾股定理,在直角三角形中,两条直角边的平方的和等于斜边的平方。
 
  明确:勾股定理也叫毕达哥拉斯定理,迄今为止,存在着几百种证明方式。但有一种不需要语言的证明。
 
  课件演示(见图11):
 
  小结:给三角形加上一点厚度,从面积问题跳转到了具象的体积问题,这就是图形中的思维变换——数形结合的力量。
 
  【设计意图:以勾股定理为拓展延伸,关注小初数学课程内容中数学思想方法的衔接,链接“以前”和“以后”。在这种不需要语言的无声证明中,再次体会“形”的力量。】
 
  (四)课堂延伸,观看视频,感悟数形结合和谐完美的万千世界
 
  引导:数与形之间的联系在数学世界里是这样的密不可分,其实,在现实生活中,大自然同样赋予数与形千丝万缕的联系,数与形有机地结合在一起,构成了一个和谐完美的万千世界。让我们一起走进去看看吧!
 
  播放微视频《斐波那契数列——上帝的指纹》,课堂在学生观看微视频中结束。
 
  【设计意图:通过“斐波那契数列”微视频,使学生感悟“数”与“形”不仅是数学的表现方式,也是世界的存在方式。其中蕴涵的数学规律,支配着自然,鹦鹉螺的花纹、人体结构比例、希腊帕特农神庙……万千世界无不遵从数学的规律,数与形的有机联系带给世界以和谐的美感。斐波那契数是大自然的一个基本模式,它出现在许多场合。由此,数学命题升华为哲学命题。】
 
  (五)学习效果评价设计
 
  1.淘气这样计算5.8×3+7×4.2,他这样计算对吗?请你试着借助图形解释其是否合理。
 
  5.8×3+7×4.2
 
  =(5.8+4.2)×(3+7)
 
  =10×10
 
  =100
 
  【设计意图:体会借助图形能够直观简明地解决运算问题,感受数形结合思考的价值。】
 
  2.小兰和爸爸、妈妈一起步行到离家800m远的公园健身中心,用时20分钟。妈妈到了健身中心后直接返回家里,还是用了20分钟。小兰和爸爸一起在健身中心锻炼了10分钟。然后,小兰跑步回到家中,用了5分钟,而爸爸是走回家中,用了15分钟。下面的图(图12、图13、图14)是描述谁离家的时间和离家距离的关系?为什么?
 
  【设计意图:体会有时图可以帮助我们直观地解决问题,有时候也能帮助我们用数学的思维分析问题,理清题目意思。】
 
  3.(a+b)2=a2+2ab+b2这个公式叫作完全平方公式,你能画图来解释这个公式吗?
 
  【设计意图:借助图形来证明完全平方公式,感受“形”与“数”之间的关系,用数形结合的思想方法解决数学问题。】
 
  五、教后反思
 
  首先,本课不仅重视了图形作为数学语言和数学工具所具备的价值,更挖掘了图形作为数学思考在问题解决中的价值。将发现、应用数学模式与借助图形沟通关系发展数学思考,自然地融合在一起,建立数与形的关联,让学生体会数学思维中几何直观的力量。
 
  其次,选用的学习素材,能够激发学生积极思考,主动寻求图形描述和分析问题的内在需求,保证了教学目标的顺利实现。同时,唤醒以往的知識学习过程,链接“以前”,衔接“以后”,积累数学活动中操作的经验和思维的经验。体会数与形作为一种存在方式和表现方式,既是数学的,也是世界的。
 
  第三,学生在本节课中经历不断发现,不断创造,不断质疑,不断收获,不断成功的学习过程,体验数学思考的力量,感受图形作为数学语言、数学工具、数学方法的价值。而且,学生的每一次思考都被充分尊重,每一次创造都被肯定,每一次挑战都激起学生追求成功的信念,保证了数学学习的兴趣,让学生喜欢数学、喜欢思考。
 
  作者:董文彬