一道不等式高考题的证明与推广

  • 投稿呐嘟
  • 更新时间2015-08-30
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湖北省阳新县高级中学(435200)宋其武邹生书

题目设x≥1,y≥1,证明:x+y+1xy≤1x+1y+xy。

这是2011年高考安徽卷理科第19题,本文给出该不等式的两种证法并对不等式进行推广,与大家交流分享。

证法1:右边减去左边得1x+1y+xy-x-y-1xy=y+x+x2y2-x2y-xy2-1xy,将分子以x为主元整理得y(y-1)x2+(1-y2)x+y-1,即(y-1)(x-1)(xy-1),因为x≥1,y≥1,所以(y-1)(x-1)(xy-1)≥0,故1x+1y+xy-x-y-1xy≥0,即x+y+1xy≤1x+1y+xy,当且仅当x=1或y=1时等号成立。

证法2:设f(x)=1x+1y+xy-x-y-1xy,则f′(x)=-1x2+y-1+1x2y=(y-1)(1-1x2y)。因为x≥1,y≥1,所以f′(x)≥0,所以f(x)在[1,+∞)上单调递增,所以f(x)≥f(1)=0,所以x+y+1xy≤1x+1y+xy成立,当x=1时等号成立,由对称性知当y=1时等号成立,故当且仅当x=1或y=1时等号成立。

将上述高考题变量的个数进行推广可得如下命题:

推广1设x≥1,y≥1,z≥1,证明:1x+1y+1z+xyz≥x+y+z+1xyz。

推广2设xi≥1(i=1,2,…,n,n≥2,n∈N),则1x1+1x2+…+1xn+x1x2…xn≥x1+x2+…+xn+1x1x2…xn。

读者可用上述两种方法证明推广1,下面我们用数学归纳法来证明推广2。

证明:(数学归纳法)

(1)当n=2时,由上述证法可知1x1+1x2+x1x2≥x1+x2+1x1x2成立。

(2)假设当n=k时,1x1+1x2+…+1xk+x1x2…xk≥x1+x2+…+xk+1x1x2…xk成立。则当n=k+1时,

(法1)1x1+1x2+…+1xk+1+x1x2…xk+1-x1-x2-…-xk+1-1x1x2…xk+1=(1x1+1x2+…+1xk+x1x2…xk-x1-x2-…-xk-1x1x2…xk)+(1xk+1+x1x2…xk+1-xk+1-1x1x2…xk+1-x1x2…xk+1x1x2…xk)≥1xk+1+x1x2…xk+1-xk+1-1x1x2…xk+1-x1x2…xk+1x1x2…xk。

设t=x1x2…xk,则1xk+1+x1x2…xk+1-xk+1-1x1x2…xk+1-x1x2…xk+1x1x2…xk=1xk+1+txk+1-xk+1-1txk+1-t+1t=t-1txk+1+xk+1(t-1)-t2-1t

=(t-1)[tx2k+1-(t+1)xk+1+1]txk+1

=(t-1)(xk+1-1)(txk+1-1)txk+1。

因为xi≥1(i=1,2,…,n,n≥2,n∈N),所以t=x1x2…xk≥1,txk+1≥1,所以

(t-1)(xk+1-1)(txk+1-1)txk+1≥0。

故1x1+1x2+…+1xk+1+x1x2…xk+1≥x1+x2+…+xk+1+1x1x2…xk+1,当且仅当xi(i=1,2,…,n)至少有一个为1时不等式等号成立。所以当n=k+1时不等式成立。

(法2)设f(xk+1)=1x1+1x2+…+1xk+1+x1x2…xk+1-x1-x2-…-xk+1-1x1x2…xk+1,则f′(xk+1)=-1x2k+1+x1x2…xk-1+1x1x2…xkx2k+1=(x1x2…xk-1)+1-x1x2…xkx1x2…xkx2k+1=(x1x2…xk-1)(1-1x1x2…xkx2k+1)≥0,所以f(xk+1)在[1,+∞)上单调递增,所以f(xk+1)≥f(1)=1x1+1x2+…+1xk+x1x2…xk-x1-x2-…-xk-1x1x2…xk≥0,故1x1+1x2+…+1xk+1+x1x2…xk+1≥x1+x2+…+xk+1+1x1x2…xk+1,当且仅当xi(i=1,2,…,n)至少有一个为1时不等式等号成立。即当n=k+1时不等式成立。

由(1)(2)知,对任意不小于2的自然数n都有1x1+1x2+…+1xn+x1x2…xn≥x1+x2+…+xn+1x1x2…xn。

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