南京师范大学数学与科学学院(210046) 过燕晶 宁连华
认知规律是指个体在通过感觉、知觉、表象、想象、记忆、思维等形式，把握客观事物的性质和规律的认识活动中客观存在的规律．认知规律体现在教学上是由对教师教的研究转向对学生学的研究，以学生为主体，数学教学是数学活动的教学，学生是教学活动的积极能动参与者，是进行学习知识和学习实践活动的主体，教师的“教”要在研究学生的“学”基础上进行．波利亚说：“教师在课堂上讲什么当然重要，然而学生想的是什么却更千百倍的重要，”要学生学有成效，教师必须遵循学生的认知规律，提高学生智力参与程度，下面笔者结合“圆周角”一课的教学实例，就教师必须遵循学生的认知规律谈几点思考与认识。
1亮点与特色
1.1循序渐进，遵循学生的认知规律
本节课是在圆的基本概念、性质以及圆心角概念和性质的基础上，对圆周角性质的探索，教学重点是理解圆周角的概念和性质，难点是证明同弧（或等弧）所对的圆周角相等以及圆周角的度数等于圆心角度数的一半，
“复习旧知，引入课题一抽象概括，形成概念-观察操作，猜想探索一归纳说理，形成新知一思维训练，提升能力—，反思回顾，盘点收获”的教学设计很好地遵循了学生的认知规律，循序渐进，环环相扣，让学生在课堂中体验数学、感知数学、建立数学、理解数学并应用数学。
引导学生复习回顾圆心角的定义、意义及度量方法，即“顶点在圆心的角叫做圆心角”，这一环节的教学设计符合学生的认知水平与数学基础知识的合理铺垫，有了前面这一铺垫，教师追问：“圆心角是顶点在圆心的角，如果顶点的位置发生变化，又该怎样描述角的顶点的位置？”学生动手画图，教师PPT展示，归纳总结角的顶点与圆的位置关系有三种——在圆内、圆上和圆的外部．在此基础上，提出：“研究任何一个图形，首先要明确这个图形的概念，”顶点在圆上的一类角比较特殊，由此引导学生观察图形共同归纳这类特殊角的共同特征——顶点在圆上且两边都与圆相交，进而自然引入课题，给出圆周角概念，接下来是对其性质探索，自然流畅，水到渠成。
1.2抓“明”主线，以“问”促恩
本节课要达成的目标十分明确，即理解圆周角的概念，掌握圆周角性质及其推论．因此，按照什么思路展开教学活动，决定了本节课教学进程的走向和风格，设置和勾画什么思路反映教师对教材的解读，对学情的分析，对教学资源的了解，
在教学过程中，课例注重课堂教学的高立意与低起点，关注学生的认知基础，强调发挥学生的主体性，促进学生积极主动地学数学，本节课围绕着数学问题进行，将课堂教学组织为提出问题和解决问题的过程，“问题导学”是课堂教学的一种新型组织方式，它以问题解决为起点，以问题及问题解决为主干，在解决问题的过程中培养能力、习得知识的教育任务，课例中教师做到以问题引领学生学习，递进式地分层推进，达成对本节课重难点的突破，其中能引领整节课的问题链主要有：
问题1圆心角是顶点在圆心的角，若圆心角的顶点位置发生变化，还可以怎样描述角的顶点的位置？
问题2给定圆上的两点P，Q，任意画出劣弧PQ所对的圆周角，你能发现什么？
问题3圆周角的大小与什么有关？
问题4根据圆心在圆周角的一边这一特殊情况猜想出，圆周角等于圆心角的一半，此结论对于更一般的情况是否成立？
问题5我们对圆心在圆周角的一边上、圆心在圆周角的内部这两种情况进行了探究，结论都是圆周角等于圆心角的一半，那么，这两种情况能不能代表所有的？还有没有其它情况？
问题6对圆周角性质的探究为什么只分成三种情况？
问题1让学生回顾圆心角的概念，抽象出圆周角的概念，并研究圆周角的特点，有了概念之后，接下来是探究如何阐明同弧所对的圆周角有无数多个（问题2），然后再探究圆心角与圆周角的大小关系，从特殊到一般，先探究圆心在圆周角的一边的情况，接着研究其他情况（问题3、问题4、问题5），最后探究分成三种情况证明的原因（问题6），这种以问题引领课堂，由浅入深，层次递进式地揭示圆周角性质的教学方式，让学生对圆周角的概念及其定理的证明有了更加明确的认识和深刻的理解。
1.3交相辉映，体现数学思想
在初中数学中，非常重要的一个方面就是数学思想．它不仅可以深入的认识数学本质，而且会对数学思维活动、数学审美活动起着指导作用，形成数学学习效果的广泛迁移，甚至包括从数学领域向非数学领域的迁移，实现思维能力和思想素质的飞跃．初中阶段主要涉及到分类讨论、化归、数形结合等数学思想方法．教师将数学思想方法渗透于教学过程中，需要将循序渐进的原则贯穿下去，分步骤有重点的渗透。
分类讨论思想在本节课得到了充分体现．首先，改变圆心角顶点的位置，可以画出无数多个角，而根据点与圆的三种位置关系，可以将角与圆的位置关系分成三类——角的顶点在圆内、圆上和圆外．再如，在对圆周角性质的探究过程中，也运用了分类证明思想，即分别考虑圆心在圆周角边上、圆心在圆周角内部和圆心在圆周角外部。分三种情况证明是学生学习本节课的障碍点，学生不理解为什么要如此分类．但课例通过几何画板演示，使学生直观感受分类的标准和方法，完成性质的探究和证明，符合学生的认知过程。
另外，在探究圆心角与圆周角的大小关系时用到了从特殊到一般的化归思想和抽象概括思想．圆上一条弧所对的圆周角个数有无限多，要将这一个个角分别拿出来研究，显然是不可能的。那么，就必须转换思维角度思考这个问题，先从圆心在圆周角的一边上这一特殊位置着手，通过探究最特殊情形，猜想结论的一般性，并通过演绎推理证明了结论：同弧所对的圆周角等于该弧所对圆心角的一半，这一过程培养了学生的几何直观和推理能力。
2白璧有瑕．尚待润色
2.1对概念引入的认识
同一教学内容，课题导入的方式因教师而异．本节课立足于圆心角定义复习的基础上，引出课题，即典型的复习旧知引出新知．但在处理上存在不妥之处，如：
师：顶点在圆心的角称之为圆心角．如果圆心角顶点的位置发生变化，还可以怎样描述角的顶点的位置？
生：顶点移到圆上的时候就叫它圆周角．
师：这位同学是说顶点移到圆上，除了顶点移到圆上，顶点还可以在哪？
可以看出，学生的回答出乎教师的意料之外，提前给圆周角下了定义．而在所给定义中该生只注意到了圆周角的顶点必须在圆上，忽视了“角的两边都与圆相交”这一非常重要的条件．在学生说出自己对圆周角概念认识的同时，也暴露出在学习和交流中存在的问题，这是一类问题，可能其他同学也存在类似的想法．对概念的理解虽然还不全面，但能作出如此回答实属不易，教师应庆幸这样的课堂生成，抓住这一契机，顺势引导学生进一步建构概念，凸显圆周角概念中“顶点在圆上”“角的两边都与圆相交”这两个必不可少的条件，加强学生对概念的再认识．鉴于此，可作如下设计：
师：方才这位同学是说顶点移到圆上的时候就叫它圆周角，下面请同学们看这样两个图形，它们能否称为圆周角呢？
图1中两个图形符合学生学生所说的条件——顶点在圆上，但左图形角的一边在圆内另一边在圆外，右图形是角的两边都在圆外，显然不满足圆周角的概念．要说明一个问题的重要性，给学生正面说教强调灌输，往往效果不好，反面说明可能力度更大，印象更深．这里笔者举出反面例子对概念加以辨析，让学生从“挫折”中切身体会概念中需要注意的问题，遵从学生的认知水平，从学生的认知规律出发而设计，令学生印象深刻而难忘。
2.2 设置适当的练习，加强对概念的辨析
课堂的容量取决于学情，课例从新课引入到反思回顾，整堂课的容量还是比较大的。课例容量虽大，却缺少一定量的课堂巩固练习。圆周角的教学难点首先是引导经验型的学生把同样一段弧所对圆周角个数的无限性，但大小却是唯一的，过渡到有限；其次是同弧所对无限数量的圆周角与唯一的圆心角的大小关系，需要逻辑上的严密说理证明，涉及到分类讨论、化归等思想方法，这是学生的薄弱之处．学生获得了关于圆周角的概念、同弧（或等弧）所对的圆周角相等、圆周角的度数等于圆心角的度数的一半等性质，好像理解起来没有多大困难．然而，苏霍姆林斯基在《给教师的建议》中指出：“懂得还不等于已知，理解还不等于知识。”学生在概念形成的初期，对概念的掌握是不完全、不深刻的，一个概念的建立总是要经过从感性到理性、再从理性到实践这两个认识过程．课例把课堂的大部分时间都用于处理以上两个难点，仅涉及一道例题讲解，例题的量偏少，为了牢固掌握，还必须增加一定量的课堂练习。
例1 如图2，点A、B、C在圆O上，点A与点D在B、G所在直线的同侧，∠BAC= 35°。
度数分别是多少度？
学生对刚形成的概念的认识是不全面的，甚至是有偏差的，这就需要及时引导学生对新概念进行再认知．明确概念的内涵与外延．在教师教学的过程中，应该对学生的认知规律进行教学，合理运用各种变式，使学生从不同的角度去认识概念的本质，使学生对难点的理解进一步深化，结合教材，可采用以下变式进行强化训练。
如此设计可以加深学生对概念以及难点深层次的理解，帮助学习困难的学生集中注意教材中的一些“点”，这些点实质上就是因果关系，即知识的基础。
2.3一些结论直接告知．略显生硬
如在探讨圆心角的顶点在圆周角的外部这一情况时，需要学生合理地添加辅助线才能概括总结出圆心角与圆周角的大小关系．教师在给予学生足够思考时间的同时，应巡视学生作图情况，发现学生的困难在于不知如何添加辅助线．而考虑到课堂时间有限，教师选择将结论直接告知学生，再者，明确了概念，接下来理应是探究圆周角的性质课例中教师直接抛出问题：“要探究圆周角的性质，首先请同学们画出圆O上弧PQ所对的圆周角。”问题提的太急，有赶鸭子上架的味道．教师不妨站在学生的角度换位思考，如果你是学生，学习了圆周角的概念，你还想知道关于圆周角的什么呢？施教之功，贵在引路+妙在开窍．因此，大胆放手，问：“有了圆周角的概念，大家想想接下来应该研究圆周角的什么呢？”学生可能会七嘴八舌的说出自己的想法，这种从学生的角度设计问题，引发学生思考，也许会取得事半功倍的效果。
[1]马玲课例：平面[J]．中学数学教学参考（上旬），2014(6)：24-26．
[2]罗增儒.中学数学课例分析[M]·西安：陕西师范大学出版社．2003.
[3]涂荣豹，宁连华巾学数学教学课例研究[M]．北京：北京师范大学出版社，2011，9
