好玩的数学:太简单!不太简单?《画正方形》教学探索

  • 投稿heal
  • 更新时间2015-09-11
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吴振亚

(江苏省太仓市实验小学,215400)

2002年8月,陈省身先生为以“走进美妙的数学花园”为主题的中国青少年数学论坛题词:数学好玩。这一谆谆教诲,凝聚着一代数学大师学习数学、研究数学的切身体会,也揭示了数学潜在的一种特质;同时,也启示我们,把数学好玩的一面呈现出来,让儿童着迷,数学教育才可谓是成功的。但不可否认的是,现实中多数的课堂里呈现的数学还是不好玩的。《人民教育》2009年第6期刊发了《小学数学教师的几大困惑》一文,其中排在第一的“困惑”就是“‘数学好玩’与‘走进美妙的数学花园’为何远离课堂”。

下面就让我们一起欣赏一节教材中没有,但学生都觉得好玩的课。这节课的核心词就是“玩”!教师没有按部就班地以“例题—练习”的形式“走下去”,而是一直在寻找合适的话题,并以一种玩的心态让学生玩出思考、玩出收获、玩出学习的乐趣。这节课具有一定的探索意义,可以让我们对“数学好玩”的课堂有更多的领悟。

一、教学实录

(一)探索之初:太简单

师(板书课题:画正方形)看了这个课题,你想说什么?

生太简单了。

生有点幼稚。

生我们很早就会了。

……

师数学就是很简单的东西。

师(课件出示图1)假设将其中的一个格子——如涂色部分,看作面积是1的正方形。那么,在方格纸上,你能画出面积是多大的正方形呢?

(教师课件演示:用“拖拉”的方式从小到大依次显示这些正方形。)

师画这类面积正好是平方数的正方形,一点也难不倒大家。

(二)探索之中:好像不太简单

1.探索“画面积是2的正方形”。

师谁能画出面积是2的正方形?

生比1格多一点。

师(课件出示图2)是这样大的吗?

生好像是。

生不太确切。

生如果用整数表示,它应该大于1、小于4,可能是2,也可能是3,无法确定。

师面积是2,边长到底是多少呢?用计算器算一算。

(学生用计算器试算,然后交流。)

生因为1.4×1.4=1.96,1.5×1.5=2.25,所以边长应该比1.4多一点点。

师这个边长的取值和π一样,是个无限不循环小数。面积是2的正方形似乎就在面前,但似乎又永远不精确。

师(课件出示图3)我们换个思路,看过这样的图形吧?如果告诉你大正方形的面积是4,那么,你能想到什么?

生涂色正方形面积是大正方形面积的一半,等于2。

生我知道怎样画面积是2的正方形了。先画面积是4的正方形,然后画面积是2的正方形。

师当不能通过边长来确定的时候,我们还可以用转化的方法来找到答案。

2.探索“画面积是平方数除以2的正方形”。

师(课件出示图4)你能算出涂色正方形的面积吗?

师(课件出示图5)它的面积呢?

生是

师想象一下,像这样继续变大,面积会有多大?

师面积有多大,能用一句话来说吗?

生平方数除以2。

师同桌之间互相说一说,这类正方形有什么特点?怎样画?

(学生同桌之间交流。)

3.探索“画更一般的正方形”。

师由特殊到一般,还可以怎么画正方形?(课件出示图6)它的面积是多少呢?

生面积是3×3=9。

生不对,它的边长不是3,因为在这个直角三角形中,这条斜边肯定比3多一些,所以它的面积比9大,不等于9。

师是啊,想用边长乘边长的方法,这时是不行的了。怎么办呢?

生转化!

生(在图中示意,如图7)我把它转化成4个一样大的三角形加上中间的1个正方形。所以,面积是3×1÷2×4+2×2=10。

生我转化成外面的1个正方形减去外面的4个一样大的三角形。所以,算式是4×4-3×1÷2×4=10。

(教师引导学生回顾刚才的两种算法,并板书:4+6=10,16-6=10。)

师(课件出示图8)你能在这个正方形中画正方形吗?

(思考片刻后,少数学生举手。)

师老师教你一招,让大家人人都会画。想一想:5可以分成几和几?

生“1和4”或者“2和3”。

生(在图中示意,如图9、10)我知道了,可以这样画。

师这两个正方形的面积一样大吗?比比谁算得快,谁的方法多!

生9+8=17或25-8=17。

生1+12=13或25-12=13。

师掌握转化的技巧,算得就是快!还可以怎样算呢?(板书:1+4)比如,5分成1和4的情况,(完善板书:12+42)因为算的是面积,所以再加平方,算算看?

生1+16=17。

师5分成2和3的情况呢?

师是不是更方便了?怎么就这么巧呢?我们回过去看看其他几个正方形,也能用这种方法算吗?

(教师组织学生回顾并验证。)

(三)探索:无止境

师(课件出示图11)并不是老师聪明,而是我们的祖先很早就发现了这个秘密。

(学生看图、阅读文字,思考、感悟。)

师(课件出示图12)根据其中的奥秘,后人还画出了一种树,叫“勾股树”,感兴趣的同学可以课后继续研究。

(学生意犹未尽地思考、探索着其中的规律。)

二、教学思考

数学就其客观意义而言,本身无“好玩”之说,要被学习者建立起“好玩”的主观感受,那便需要按照人的心理喜好进行改造。

(一)素材很简单,但内容很丰富,所以兴趣盎然

鲜艳的小碎纸、几块镜子,就这些平常不过的东西,一旦制作成了叫“万花筒”的玩具,便百看不厌;而且一旦某个图案消失了,要转动几个世纪,才会出现同样的组合,每一个瞬间都值得欣赏和珍惜。以上课例中,数的分成、正方形的特征、面积、图形的变换等平常的数学知识,借助正方形这一载体,便触及无理数、勾股定理,既平和直观,又有趣生动。玩具万花筒揭示了“极平常处同样有风景”的道理,以上课例也正是这样。

“画正方形”?学生刚看到这个学习内容时,觉得“简单幼稚”,但一琢磨、一深入,就不简单了。面积是2的正方形,似乎就在眼前,但似乎又不在眼前……就这样,学生踏上了以正方形为载体的思维之旅。简单,让起始的学习顺畅自然;随着学习的推进,一点点的不简单,又避免了“也就这样”的乏味感。

好的素材,是开创性的、有发展的,是让学生感受到“数学好玩”的基础。最终证明费马大定理的数学家安德鲁·霍尔斯,10岁时已经着迷于数学。他回忆说:“在学校里我喜欢做题目,我把它们带回家,编写成自己的新题目,不过我以前找到的最好的题目是在我们的地区图书馆里发现的。”霍尔斯这样描述看到“费马的最后命题”时的感受:“看上去如此简单,但历史上所有大数学家都未能解决它,这里正摆着一个我——一个10岁的孩子——能理解的问题,从那个时刻起,我知道我永远不会放弃它,我必须解决它。”无独有偶,《大自然的分形几何学》的作者罗德尔布罗特,在书的引言中写道,“自然界的许多图形(比如云彩、海岸等),是如此的不规则和支离破碎”,“这些图形的存在,激励着我们去探索那些被欧几里得搁置在一边,被认为是‘无形态可言’的形状”,“作为对这个挑战的回答,我构思并发展了大自然的一种新的几何学”。看,这就是好素材的力量!

(二)过程有点难,但思维被“吊”着,所以欲罢不能

总有教师简单地认为,要使数学内容好玩,在数学学习的过程中,需要引入趣味故事、生活游戏。其实,这些内容没有触及数学的核心内涵,或许能吸引学生,但绝对征服不了学生。数学中还真有一些经典的思维游戏,比如七巧板、九连环、华容道、幻方等。考证下来,促使它们成为好玩的游戏的原因,首先是素材常见、规则简单,能让游戏者容易“入戏”、玩起来;其次是是玩法变化多样,每次都不一样,具有与游戏者游戏能力不断匹配的小难度,保持吸引力。实际上,大凡好玩的游戏,都具有这两个特点。

数学能让一部分人终生追随,不是因为简单,恰恰是因为有点难。这就如同数学的发展,一个原因是解决实际问题的需要,而另一个动力就是进行纯粹思考的乐趣。陈省身先生在天津扶轮中学求学时,乐此不疲地寻找弦切角定理的多种证明方法,写就《一个几何定理的十六个证明》一文,刊登于校刊《扶轮》上,享受的便是思考的快乐。当然,我们如果能看得更深远些,便可以发现,无论多么简单的数学概念,都是人类思维抽象的结晶,思考是数学学习不可或缺的方式。儿童们“玩”数学,不可或缺的“玩”法也便是思考!

不少人不爱数学,因为觉得数学难,实际上这只是问题的表面;而问题的本质在于,对他们来说,数学难得不合适。如果要解决的问题,就像跳一跳能摘到的果子,那么他们就不会计较跳一跳的努力,反而会因跳一跳而更难于忘怀那果子的鲜美。数学教学中的“情感态度”目标,最根本的体现应该是:经历“辗转反侧、冥思苦想—石破天惊、豁然开朗”的过程,享受思考的快乐!这样的过程,犹如陶渊明先生的游记所描述的:“山有小口,仿佛若有光。便舍船,从口入。初极狭,才通人。复行数十步,豁然开朗。”从“画正方形”到“画面积为2的正方形”,又从“还能怎么画”引出“弦图”,体会“出入相补”,最后欣赏“勾股树”,探索无穷的奥秘——循着已有的知识和经验想下去,就总有收获。因此,学生就对每次思考都翘首以待!不断克服“小难”,有了大量思考成功的情感积累,那么,即便遇到了“大难”,学生也绝不会感到数学不好玩,反而会勾起斗志。而越是“大难”,克服后获得的情感体验就越深刻、越震撼。如此循环,数学怎会不好玩呢!