王弟成
（江苏省连云港市教育局教研室，222006）
高中数学教学由于内容多、难度大、任务重、时间紧，所以很多时候教师在课堂上，舍不得给时间让学生独立思考解决问题，问题一出现马上就进行讲解，力争多讲解几道题，让学生见的题型多一点，了解的方法广一些——期望学生“见多识广”，考试时成绩会好一些。当然，也有部分教师在观念上就认为数学比较难，不相信学生自己能学会，他们觉得“教师讲学生都学不会，不讲学生就更不会了”，与其“浪费”时间给学生做没有结果的思考，还不如直接讲解，让学生听得清楚、明白，
然后跟着练就可以了。但是，越来越多的教师发现：常常教师认为自己讲得很清楚、透彻，觉得学生应该听得很清楚、明白了，可是学生独立解题时却又无从入手，考试中遇到讲过的同类题还是不会。比如，对于直线方程中斜率不存在的情况，无论教师怎么强调，学生具体解题时还是经常遗漏。问题出在哪里？是“教师讲得太多”吗？
不过，面对学生不懂、不会的概念、定理、方法、问题，教师能不讲吗？正如《我们不是课堂“神话”的缔造者》一文（以下简称《神》文）中指出的“教师的讲授是高中数学重要的教学方式之一，该讲的就要理直气壮地去讲”，教师不仅要讲，而且要讲精、讲到位，让学生一听就懂，由懂而会，由会而透。因此，现在的问题并不是“教师讲得太多”，而是讲得多但不到位，讲的更多的是“是什么”而不是“为什么”、“怎么想”。要解决这一问题，教师“要重视学生的积极参与，他们能想到和做到的，绝不包办代替”，“须关注学生的主体参与，师生互动”。
一、教学应在教与学的平衡中行走
教学，既要教，也要学，更要教学生学。教是为学创造条件，教是为促进学、激发学、加速学、发展学，但无论如何教不能代替学，没有学则教无意义。苏格拉底说：“教育不是灌输，而是点燃火焰。”因此，教学就要注意平衡：教与学的平衡，讲与不讲的平衡，讲多与讲少的平衡，讲授与参与的平衡，等等。
首先，教与学的平衡要求教师“把课堂交给学生”。要想知道哪些是学生能想到、做到的，能自己理解的，仅凭教师的预设和经验是不够的。预设是必要的，经验是教师的理解，但是，预设是有局限的，不是什么都能预设
到，而且经验是过去的，对当前的学生未必适用。同时，每个学生毕竟是不同的，能力、基础不同，知识、方法结构不同，解决问题的偏向不同，思维的方式不同，有人擅长代数，有人擅长数形结合，有人擅长整体，有人擅长考虑细节，这些都会导致对相同的问题，不同的学生有不同的认识，
有不同的着眼点、切入点等。笔者在听课中，经常发现：面对问题，教师只顾讲解自己预设的方法，对学生提出的其他方法，不是置之不理，就是认为不好，让学生很不服气。实际上，学生的很多方法是有价值的，至少是自己擅长、适合的。
什么不从边的角度思考，他认为从边出发不好解答，大家都是这样做的。事实上，要求含三角形边的式子的最大值，从边入手不是很自然的吗？下面给出这一习题的两种从边考虑的最基本的解法：
上面的解法1从边入手，化二元为一元，转化为二次方程有解问题，通过判别式非负出现不等关系，显然比“化边为角”方便得多。解法2实际上就是基本不等式的应用，只是一眼看不出来，便采取待定系数法而已，虽有些繁，但也是学生应该掌握的基本方法。可惜这位教师预设不到位，又不“把课堂交给学生”，便白白浪费了一道培养学生能力的绝佳好题。实际上，教师和学生的关系就好比体育运动中教练和运动员的关系，哪一个运动项目是教练在场上不停地表演示范，运动员在场边观看的？
其次，教与学的平衡要求教师对学生的学习进行高层次的引领。高效的课堂应该是在教师设计下的“交给学生的课堂”。对学生的想法，教师要充分地“预设”。当然，教与学的平衡度很难把握，这里没有也无需明确的标准。讲多讲少、何时讲，与学生的学习基础、学习习惯，教师的教学理念、教学风格以及教学的具体内容、难易程度都是相关联的。
例如，《神》文中，作者对求和问题“S64=1+2+22+…+263”给出了自己的教学过程：先引导学生退回到最简单的情形，得到S1=1，S2=3，S3=7，S4=15，S5=31，…，再引导学生对结果进行归纳猜想，从而得到Sn=2n-1；这个结果不容易证明，所以，引导学生求和T10=1+3+32+…+39，再一次进行归纳猜想，得到
；接着，引导学生将分母中的2变成3-1，并从证明中发现“错位相消法”。这里，教师引导学生主要从归纳中寻求解题思路，而归纳正是数列教学中要重点培养的学生能力。因此，这一教学设计思路独到，不失为一种好方法。不过，笔者以为，这一教学设计仍然存在一个可以改进的地方：“将2变成3-1”到底如何能让学生想到？《神》文中，作者说：“当学生发现通项公式是
后，再聪明的学生也不可能想到将其改写为
。”而教学中，如果学生问教师“是如何想到的”，教师总不能回答“我知道‘错位相消法’”吧？事实上，如果教师舍得花时间，将上述归纳猜想过程再“前进一步”，那么，“想不到”可能就会变成“想得到”。既然已经走了这条道路，就将归纳猜想进行到底：让学生再求和W10=1+4+42+…+49，学生自然会得出W1=1，W2=5，W3=21，W4=85，…；有了前面的基础，学生自然会类比模仿、归纳猜想，得出Wn=4n-13；由此，学生不难在对比、归纳中发现结果的结构相似，分母都比公比小1，此时，提出Qn=1+q+q2+…+qn-1是否等于
不就顺理成章了吗？
上述过程“是启发，不是告诉”，“这种理想的境界”就此达到了。所以教学不是教师讲不讲、讲多讲少的问题，而是怎么讲、怎么设计、怎么启发的问题。
二、平衡的教学应让学生“先来”
实际上，无论是“将课堂交给学生”，还是“教师讲得太多”，也无论是“自主合作、探究”，还是“接受、记忆、模仿和练习”，不管哪种模式，笔者认为都不是最重要的。因为模式是死的，人是活的，还是应该“具体问题具体对待”，不要纠结于用什么模式，关键是看学生的思维是否深度参与学习活动。所以我们提倡，教学让学生“先来”：给学生一点思考时间，听一听学生的想法，看学生是否真正理解，在学生想法的基础上教师再进一步地讲解；看一看学生的做法，从学生的做法中发现障碍、错误或创新点等，有针对性地点拨，提高讲解的有效性；查一查学生基础，看学生知道些什么，了解学生的“现有发展区”，确定学生的“最近发展区”。让学生“先来”，能够促进学生主动思维、独立思维，能够激发学生的学习潜能，展现学生的学习智慧。很多学习困难生往往是思维被动造成的，我们更应创造条件让他们“先来”，使其化被
动为主动。所以教师要转变观念，信任学生，学生不是“什么都会”，但也绝不是“什么都不会”。学习是人的一种本能，学生是有创造性的，学习的过程也是一种创造的过程，创造的过程更能激发人的潜能。
首先，教师要立足教材、突破单节、着眼整体进行设计，促进学生能“先来”。比如，在函数学习中，高中首先学习的具体函数是指数函数，那么对其进行研究的方法与过程就显得尤为重要，因为它对后续其他函数的学习具有“示范”作用。学习指数函数的性质时，一是要回顾初中一次函数、反比例函数、二次函数的研究内容、研究方法、研究过程；二是要理解对于指数函数的研究，其思路也是从特殊指数函数入手，如研究函数y=2x，y=10x，y=｛1/2｝x等，然后概括出一般指数函数的性质；三是要掌握研究的手段是先画出函数的图象，再根据图象观察、发现、概括出函数的性质；四是要明确研究函数的哪些性质，即一般是从定义域、值域、奇偶性、对称性、单调性、过定点等方面进行研究的；五是要了解有了指数函数的性质，还要在比较大小等具体问题中进行应用。有了这些研究函数的一般“套路”，学生再学习对数函数、幂函数、三角函数乃至其他“新定义函数”的性质时，教师还用得着花心思设计吗？教师完全可以放手让学生自己研究，学生完全能够小组合作完成，并给出有价值的研究成果。整个高中数学学习中此类情形很多，又如等差数列的学习与等比数列的学习。因此，教师需要站在数学整体的角度，深入挖掘教材内容内在的联系，搞清教材章节之间的关系，为学生能“先来”创造自主学习条件。
其次，教师对问题本质的详尽理解，对解题方法的深刻认识，对数学思想的透彻领悟，都有助于学生会“先来”。学生的数学学习之所以陷入“题海”，除希望通过练习从“熟”到“巧”外，也是由于没能获得对数学问题与解法的本质透彻理解而造成的。比如，学生会求二次函数y=ax2+bx+c的最值后，面对
最后，教师要注意多从方法论层面启发学生思考，同时注意培养学生自我反思的能力，进而由师“启”变生“发”，引导学生愿“先来”。还是回到上面的求和问题，是不是所有的学生都会采用从简单的特殊情况开始归纳猜想的方法呢？若有学生根据式子的结构特征，发现S64=1+2+22+…+263=S63+263=1+2（1+21+22+…+262） =1+2S63，从而运用方程思想“意外”求出S63的值，进而求出S64的值呢？如果教师的主导性过强，那么，学生的创造性思维可能就会被“淹没”。当学生确实不知如何解决时，教师也应从尽量多的角度启发学生思考，如“能从最简单的情况探索起吗”、“能否寻找S64与S63之间关系呢”等等。教师要启发方向，把发现留给学生，把学习过程变成“再创造”的过程。同时，教师要注重培养学生数学学习的元认知能力、学习过程的监控与反思能力，重视学习活动的设计，即学生如何学的设计，以使学生逐步体验、掌握自主学习的方法。
教之道在于“度”，让学生“先来”，教师再讲，才能到位。课程标准针对提高学生思维能力，提出：“人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现……等思维过程。”这种经历绝不只是在“听讲”中经历，而更需要在亲身体验中经历，在自主建构中经历。记忆性“掌握”知识的学习方法必须彻底改革，代之以实践体验式的学习方法。
*本文系江苏省教研第十期立项课题《高中数学教学中培养学生自主发展能力研究》（课题批准号：2013JK10-136）的阶段性研究成果之一。
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参考文献：
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