关注中等学生解题的“会而不对”现象

  • 投稿蓝调
  • 更新时间2016-06-07
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  一、问题提出

 

  对于高中数学的学习,多数学生属于中等生,他们的数学学习成绩一般,数学基础和数学思维能力也在中等水平.数学教育要面向全体学生,关注每一位学生的成长,这些中等生自然是数学教学中需要关注的重要对象.

 

  数学学习离不开解题.在平时的作业、单元测验及考试中,不少中等生对于一些题目有自己的思路,感觉会做,但是由于种种原因(可能是审题、计算,也可能是心理调控等)最后无法得到正确答案,产生了“会而不对”现象.

 

   这里“会”是感觉会做,有了解题的思路,拟定了解题的计划.“不对”是指解题思路是错的,但自己未能察觉到或者解题思路正确,但在执行解题计划过程中出 错.这种现象不仅影响学生的学习成绩,也挫伤学生学习数学的积极性,影响学生学好数学的信心.然而,学生自己无法挖掘产生这种现象的深层原因,往往只是归 结为自己的马虎、大意,从而无法有效减少和避免这一现象,导致“会而不对”在自己身上一直延续.为此,我们对这种现象展开调查,希望发现产生这种现象的原 因,并结合具体案例给出切实有效的解决办法,以帮助中等生减少出现“会而不对”现象,提高数学成绩,培养数学兴趣,增强学好数学的信心.

 

  二、调查结果

 

  笔者对所在的学校(四星级高中)高一、高二年级学生,利用第二学期期末考试前的一个晚自习时间,随机抽查了共计326人,发放问卷,进行调查,收回有效问卷324份,对其中认为自己数学成绩在中等及中等偏下的275名学生的问卷进行统计.

 

   调查问卷统计的结果显示:(1)多数中等生出现“会而不对”现象的频率较高(80%的中等生经常出现).(2)多数(80%)中等生会在平时作业及考试 中出现“会而不对”现象,上课时出现这种现象较少(5%).(3)超过60%的中等生把产生“会而不对”现象的原因归结为以下3点:计算马虎、粗心变成了 习惯;看错题了,误解了题目的意思;计算方法不好,繁杂.(4)关于如何减少甚至避免在解数学题中出现的“会而不对”现象,多数(90%)学生认为做题时 要专心,其中70%通过回头看来修正错误,少数学生认为可以借助错题本(占16%)和书写规范(占15%).(5)有50%的中等生没有就自己解题中出现 的“会而不对”现象向教师或同学求教过.(6)65%的中等生经常因自己在解题中出现“会而不对”现象而烦恼.

 

  通过问卷调查及对调查结果的统计,初步了解了中等学生解题中“会而不对”现象的现状.对中等生的有些想法,与笔者的估计有较大出入,比如:教师们都一致认为可以通过错题本有效纠错,提高数学成绩,但多数学生并不认同.

 

  说明 此次调查范围较小,仅涉及笔者所在学校,且尚未对高三学生展开调查.

 

  三、案例分析

 

  案例1 审题不准导致“会而不对”

 

  

 

  评注 例1解答的错误是由于学生审题时未注意到a>0的条件导致多出一个解“a=-1”.类似的错误还有看错题目中的条件,遗漏或多出题目条件.

 

  案例2 字迹潦草,公式记忆模糊,导致“会而不对”

 

  例2 在△ABC中,已知AB=3,A=120°,且△ABC的面积,则边BC的长为________.

 

  错解 由三角形面积公式得

 

  

 

  从而AC=5,再由余弦定理得

 

  

 

  评注 对于例2,学生在使用余弦定理时,由于看错了数字,把自己书写的“5”(“5”书写潦草)看成了“8”,导致BC求错,此类学生有时也会因为记错公式(如余弦公式中减号记成加号,特殊角的三角函数值记错如把cos120°当成),看错符号导致错误.这部分学生往往把原因归结为自己的马虎大意,却并不知道怎样去纠正.

 

  案例3 遗漏公式使用条件,导致“会而不对”

 

  

 

  

 

  评注 例3中出现的错误原因是学生在使用直线方程的点斜式(或斜截式)时,忽略了使用的条件,仅能在直线斜率存在的情况下使用,从而导致少了一个解.例4中出现的错误原因是使用数列中通项与和的关系式,误把n的范围当成了全体正整数集,而事实上n是大于1的正整数.此类问题,学生看似会做,并认为自己做的是对的,但由于对公式、定理使用条件的忽视或遗忘,而导致错误(比如:使用等比数列求和公式,当公比为参数时,不少学生会忘记对公比是否为1展开讨论.)

 

  案例4 算理混淆导致“会而不对”

 

  

 

  

 

   评注 例5中连续使用2次基本不等式进行放缩,但2次基本不等式取得最值时的条件不同(无法同时取到等号),导致等号无法传递下去,因此错解中求出的最小值比实 际的最小值要大.例6错解产生的原因是误把“f'(1)=0”当成是“f(x)在x=1时取得极值”的充要条件.事实上,前者只是后者的一个必要条件,要 保证f(x)在x=1时取得极值,还需要验证x=1左、右两侧的导数是否异号.此类算理的混淆、充要条件的误用,常常会导致解的范围扩大或缩小.

 

  案例5 算法不优,导致“会而不对”

 

  例7 设A为椭圆E:(其中a>b>0)长轴上的1个顶点,若该椭圆上存在点P,使得AP⊥OP,求该椭圆E离心率e的取值范围.

 

  错解 不妨设A为长轴上的右顶点,则点A(a,0).设点P(x,y),因为AP⊥OP,所以

 

  

 

  又因为点P在椭圆E上,所以

 

  

 

  (学生语:求出该方程的根,让这个根,即点P的横坐标在区间(-a,a),就可以求出离心率的范围了.但这个方程实在是不好解,因此只能写到这里了.)

 

  评注 不少中等生知道解题思路,通过联立方程组,消元得关于x的一元二次方程,但是方程中含有2个字母参数a,b,且出现, 尝试用求根公式,感觉过繁,心理畏惧而放弃后续的运算.这种“感觉有思路,但计算繁杂,不会算”而导致“会而不对”的现象,在解析几何的综合题中经常出 现.事实上,只要留意到方程组一定有一组解为点A的坐标,就可快速对消元后得到的一元二次方程采用十字相乘求解,从而能使计算得以进行下去.

 

  四、预防和减少“会而不对”现象的几点思考

 

   《学记》中说:“学者有四失,教者必知之.人之学也,或失则多,或失则寡,或失则易,或失则止.”中等生解题中的“会而不对”现象主要是由于“寡、易、 止”导致,可能是知识不足;也可能是解题时,心浮气躁,书写潦草,感觉过于容易,粗枝大叶;还可能是解法不优,计算繁杂,产生了畏难的情绪,导致有思路但 算不下去.结合调查结果和几个案例,笔者给出预防和减少“会而不对”现象的几点思考如下:

 

  1.指导和训练学生审准题,学会工整、规范解题

 

   美国著名数学教育家波利亚给出解题的4个步骤:理解题意,拟定计划,执行计划,回顾[2].中等生解题中的“会而不对”可能出现在各个环节,但若审题出 错,则全盘皆输.怎样审准题,确保自己理解的意思和题目本身含义的一致性,可以通过训练,得到改善.比如读题时动笔圈画关键词,从心理学的视角看,圈画关 键词的过程既有视觉的输入又有动作的输入,两种输入联合起来,可以加深对题目关键信息的短时记忆.读例1的过程中,若学生能够在“a>0”处圈画,一般不 会多出负解.对于部分学生书写时,字迹潦草,缺少依据的问题,往往是学生多年累积的习惯,可引导学生左边对齐书写,注意换行,写成“诗歌体”而非“散文 体”.如此等等的小技巧,不断加以训练可以有效解决学生审题不准、书写潦草的问题,从而预防、减少“会而不对”现象.

 

  2.指导学生学会“回头看”,掌握一些纠错的方法

 

   罗增儒教授指出:“题解的检验也是丰富解题经验、提高解题能力、增强数学素质的一个有效途径”[3].从问卷调查第4题的统计结果中可以看到,多数 (70%)中等生知道通过“回头看”来修正错误.学生所说的“回头看”就是检查,但怎样有效检查,学生使用的方法较少,常常只是用原来的方法再演算一遍, 但易受思维定势的影响,结果有了错误,也很难被发现.因此需要指导学生,掌握一些纠错的办法.比如多解对照法,用多种方法解一道题.对于例3,若学生画出 图来,从图的视角不难发现过点A(0,3)的圆的切线应该是2条,少了1个解,从而纠正错误;特例检验法,将解出的结果,取特殊值或特殊图形等,看看是否 符合题意,对于例4,若学生在求出数列的 通项公式后,取n=1,n=2代入所求通项公式和已知条件就可以发现矛盾,纠正错误.还有逆向运算法,对于例2的错误,通过逆向运算可以很快发现数字书写 的错误.多掌握一些纠错的办法,可以有效地发现错误,减少“会而不对”现象这就要求教师不仅要善于引导学生发现解题方法,还要指导、训练学生掌握一些纠错 的办法.

 

  3.指导学生会用、喜用错题本,积累自己容易犯错的典型案例

 

  从问卷调查统计结果中可以看到,仅有少数(16%)的学生认为可以通过整理错题本减少“会而不对”现象.而事实上,中等生的解题错误有普遍性,也有个性化的特征,比如完全平方公式的使用,有的学生遇到就 容易出错,把中间项误认为是2ab,而另一些学生则不会犯这样的错误.总之,不少错误带有个性化的特征.而整理错题本正是进行个性化纠错,提升解题能力的 好办法,其功效已成为教师们的共识.然而,是什么原因使多数学生对错题本整理如此不重视呢?为此,我们对部分学生就错题本整理的相关问题进行访谈.

 

  笔者:你们能谈谈关于数学错题本的看法吗?

 

  生:我们觉得错题本的作用比较小,我只是在教师布置整理错题的时候才整理错题.

 

  (笔者查看了2名学生的错题本,一道错题主要记录2项:题目和正确解答.)

 

  笔者:这样的错题本,对于我们解题能力的提升的确帮助不大,你们知道怎样更好地整理错题吗?

 

  生:不知道.

 

   通过访谈,初步了解了学生整理和使用错题本的状况,总的来说是被动整理、低效整理.究竟该如何整理错题本?肖林元教授在一次课题指导会上指出:错题本整 理要解决3个问题:记什么,怎么记,如何用.这给了笔者深刻的启发,结合近几年的教学实践,笔者认为首先要记录自己看似会做,常常出错的问题,要少而精; 其次要按照一定的流程记录错题,通常包括以下:题目,错解,错因(包括合理之处),正解,警示(要注意哪些问题,才能纠正这类错误),相关题目(类似的题 目,以便练习巩固);此外,还可以记录自己的情感体验,使错题本更有趣;最后,还要定期错题回炉(拿出来,做一做,再分类整理).这样可以使整理错题本变 得有趣、有效,对减少解题中的“会而不对”现象助一臂之力.

 

  4.指导学生学会选择方法

 

  法国著名生理学家贝尔纳指出: “良好的方法能使我们更好地发挥天赋才能,而拙劣的方法会阻碍才能的发挥.”案例5中的例7,学生在求解含2个参数的一元二次方程时,想利用求根公式法求 解,但感觉太繁而放弃.事实上还可以用十字相乘法,若提前观察出一个根为a,则可采用短除法,如果在由式(2)变形代入式(1)消去时,不对消元后的方程展开,能够观察到有公因式x-a,通过提公因式,可以快速得到方程的根.在平时的解题教学中,引导学生解题之后,思考不同的方法,比较不同方法的繁简程度和适用范围,学会选择较简洁的方法解题,可以有效减少解题中的“会而不对”现象.

 

  5.指导学生知识结构化,减少和避免“形式主义”的知识

 

   美国教育心理学家布鲁纳指出“获得的知识,如果没有完满的结构把它联在一起,那是一种多半会被遗忘的知识.一串不连贯的论据在记忆中仅有短促得可怜的寿 命.”中等学生解题中“会而不对”现象,有时是“假会”,是对知识理解和掌握不完整,所理解的知识是零散的,比如案例3中例3和例4的错解,事实上是对直 线方程的使用条件的不重视及数列通项和前n项和的关系理解的偏差.要想对此理解深刻,需要经常性思考知识间的关系、直线的点斜式方程是怎样得来的、数列通 项和前n项和的关系式是怎样推导出来的,对类似问题的深入思考可以使获得的知识结构化,便于从记忆的仓库中提取和使用.案例4中例5和例6的解题错误,也 充分暴露了学生在用放缩法求最值及函数有极值和导数为0的关系问题上,有知识理解方面的错误,对两个知识点的理解仅仅是“形式主义”的表面知识.

 

   调查结果显示:多数(80%)中等生会在平时的作业及考试中出现“会而不对”现象,但上课时出现这种现象较少(约5%),主要的原因就是学生对教师解题 的模仿,有时是依葫芦画瓢,而不知为什么这样做.文献[4]指出:“数学学习需要一定程度的‘模仿、记忆’,但不能完全依靠它.”前苏联著名数学家费里德 曼指出“寻找解题不能教会,而只能靠自己学会”[5].为了减少和避免学生产生“假会”现象,教师在课堂上给出问题后,要给足学生思考的时间,待学生想清 楚了,再给学生示范以规范书写,同时讲清楚每一步的依据:为什么这样做、有什么好处,这样学生才能更好地把学到的东西纳入自己原有的知识结构中.知识结构 化可以有效减少解题中的“会而不对”现象.

 

  中等生减少解题中“会而不对”现象,主要靠自己体悟,但教师不能因此在指导学生提高解题能力 方面不作为.章建跃博士指出:“数学教学质量低下的原因,追本溯源,主要来自于教师的数学理解不到位.”[6]为了更有效地帮助中等生减少解题中“会而不 对”的现象,教师首先必须加强自己对数学问题及知识的理解,打铁还需自身硬;其次中等生更需要教师给予耐心的指导和充分的理解,需要教师不断寻求帮助他们 学好数学、乐学数学的办法.

 

  从问卷调查第7题的统计结果看,超过一半(65%)的中等生经常因自己在解题中出现“会而不对”现象而烦 恼,凸显此项研究的意义.但限于本研究调查对象少、研究时间短,研究结果还比较粗糙.此外,在数据处理时,未对性别、年级等因素对解题中“会而不对”现象 的影响展开研究,期待更多的教师对此展开更加细致和深入地研究.