编者按
为进一步深化素质教育，改革高考应试弊端，我国拟出台多项高考新政，为此，考生在全面提升自身素质的同时，还应深谙高考精神，做好备考工作。自上一年高考结束始，至下一年高考止，为最重要的备考时段，在此阶段，将对学生的身体、心理素质，学科思想把握能力，考纲领悟能力及答题技巧进行综合考量，同时，教师要对历年试题进行深入反思，在对当年高考命题进行充分预测的基础上，引领学生进行有重点的针对性复习。
所以，考生应不断增强自己的身体素质，完善自身的心理品格，在教师引导下，实现自身对高考学科的透彻认识，从而在高考考场上能做到成竹在胸，最终完胜高考。当然，高考是对师生的双向测试，教师也只有准确把脉学科高考走向，不断提升命题的有效性，才能在日常的教育教学活动中，使授课更有针对性。
在2014年元月，本期特设专题，从试卷反思、教师命题及学生能力培养探究高考备考策略，意图为高考师生提供借鉴，在6月交一份满意的答卷。
◇福建省石狮市第八中学 钟承华
中图分类号：G633.6 文献标识码：A 文章编号：1671-0568（2014）03-0005-03
孔子“登泰山而小天下”，在数学学习过程中，数学好比“天下”，而数学思想方法是“泰山”，数学思想方法引领数学知识、数学方法。近年来，在课改的深入发展中，高考数学试题对数学思想方法的考查越来越重视，目的在于考查学生依托主干知识、创设情境，重点考查学生运用数学思想方法解题的意识。高中数学思想方法包括函数与方程思想、分类与整合思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想、有限与无限思想和必然与或然思想。下面结合2013年高考数学福建理科卷对其数学思想方法的考查试作分析。
一、2013年高考数学福建理科卷对数学思想方法考查的分析
1.函数与方程思想。函数思想体现的是变量运动的观点，用来研究数量关系；方程思想：体现变量之间的等量关系。因为函数问题与方程问题是相通的，因此我们往往通过函数与方程的思想来处理变量之间的关系。高考对学生素养考查有以下三个层面：一是知识层面，学生能将函数方程思想看做知识；二是能力层面：学生能运用函数方程思想相关能力解题；三是素质层面：学生能在情境中，通过函数与方程思想解决问题。
表1说明，全卷21道题中，有一半以上题考查函数与方程思想，第8、10、15、17、20题重点考查函数与方程思想。
例1（2013年福建理10）：设S.T是R的两个非空子集，如果存在一个从 S到T 的函数y=f（x）满足：①T={f（x）|x∈S}；②对任意x1，x2∈S，当x1＜x2时，恒有f（x1）＜f（x2），那么称这两个集合“保序同构”，以下集合对不是“保序同构”的是（ ）
A. A=N*，B=N；
B. A={x|-1≤x≤3}，B={x|x=-8，或0＜x≤10}
C. A={x|0＜x＜1}，B=R； D. A=Z；B=Q
评析：立足于函数的三要素：定义域，值域，对应法则。同时考查函数的单调性，利用函数思想构造函数。
选项A：构造函数f（x）＝x-1；
2.数形结合思想。数形结合思想：体现以“形”辅“数”，以“数”解“形”，“数”与“形”的转化。通过数与形的转化，达到把复杂问题简单化，抽象问题具体化，“以形辅数”，通过图形的直观解决问题。“以数解形”，通过数量关系，刻画图形的位置和性质。
经统计，全卷有12道题考查数形结合思想。“以形辅数”充分发挥图形的直观作用，“以数解形”运用严密的逻辑推理，得到精确的数量关系。
例2（2013年福建理8）：设函数f（x）的定义域为 R，x0，（x0≠0）是f（x）的极大值点，以下结论一定正确的
是（ ）。
评析：观察x0与-x0的对称关系，f（x）与f（-x）的图像 关于y轴对称；
f（x）与-f（x）的图像关于x轴对称；f（x）与-f（-x）的图像关于原点对称；
因此，由x0是f（x）的极大值点可知：A 错；
-x0是f（-x）的极大值点，B 错；
x0是-f（x）的极小值点；-x0与-f（x）无确定关系，C 错；
-x0是-f（-x）的极小值点； 故D 正确
本题对数形结合思想考查有相当的深度与广度，对于抽象函数，利用图像的对称性，起到直观的作用，使问题的处理一目了然，充分体现了运用数形结合思想解题的效果。
3.转化与划归的思想。“数学处处要转化”，化归与转化体现在：化难为易，化生为熟，化繁为简，化抽象为具体，从而解决问题。包含正与反的转化，一般与特殊的转化，空间与平面的转化，繁与简的转化，数与形的转化。有句俗话说得好：解题不可怕，只要会转化。
表3说明全卷中的每一道试题都离不开化归与转化，名副其实的数学处处是转化。
例3（2013年福建理18）：在正方形OABC中，O为坐标原点，点A坐标为（10，0）。点C的坐标为（0，10），分别将线段OA和OB十等分，分点分别记为A1，A2…，A9和B1，B2…，B9，连结OBi；过Ai做x轴的垂线与OBi交于点Pi（i∈N*，1≤i≤9）；
（1）求证：Pi（i∈N*，1≤i≤9）都在同一条抛物线上，并求该抛物线E的方程。
（2）过点C作直线l与抛物线E交于不同的两点M，N，若△OCM与△OCN的面积比为4:1，求直线l的方程。
评析：这道解析几何题体现了“形”的问题转化为“数”的问题，“点”转化为坐标，“直线”转化为方程，曲线转化为方程，“点在曲线上”转化为“点的坐标满足曲线方程”，第（2）问，把△OCM与△OCN的面积之比为4:1转化为M（x1，y1），N（x2，y2）的横坐标之间的关系：|x1|=4|x2|。
本道题充分体现了化归与转化思想，也涉及到数形结合思想、函数与方程思想，充分体现了运用数学思想方法解题的素养。
4.分类与整合思想。分类与整合思想，体现“合—分—合”的解题策略。在总区域内，划分若干个区域，由大化小，由整体化为部分，由一般化为特殊，而后整合在一起。分类与整合思想的要求：第一是要明确分类的缘由，为什么要分类；第二要掌握分类的原则，有明确的分类标准，分类对象，不重不漏；第三，实现有效整合。
例4 （2013年福建理20）：已知函数
的周期为π。图像的一个对称中心为
，将函数f（x）图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，（纵坐标不改变）。再将所有图像向右平移
个单位长度后得到函数g（x）的图像。
（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；
（2）是否存在
，使得f（x0），g（x0），f（x0）
g（x0）按照某种顺序成等差数列若存在，请确定x0的个数；若不存在，请说明理由。
（3）求实数a与正整数n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在 （0，π）内恰有2013个零点。
评析：（1），（2）解略。
在（3）中，体现了函数与方程思想，化归与转化思想，数形结合思想，分类与整合思想。首先，把函数F（x）=a sinx+cos2x的零点转化为方程F（x）=0的根，再次转化为方程
中，化归为直线y=a与曲线
的交点问题。利用导数研究函数h（x）=
的单调性。
当a=±1时，直线y=a与y=h（x）在（0，π）有奇数个交点，因此，当a=±1时，由2013÷3=671，得n=2×671=1342时，直线y=a与y=h（x） 在（0，π）内恰有2013个零点。
本道题中涉及的分类与整合思想体现在：①含参数的方程中，对参数a的讨论；②对不同区间x的走势，函数值h（x）的走势进行分类，包含了极限思想，做到有明确分类标准，不重复，不遗漏。
5.必然与或然思想。必然与或然思想体现在以概率统计为主线，如：抽样思想，统计推断思想，随机思想等。
6.一般与特殊思想。在解决问题时可以由特殊问题一般化，也可以由一般问题特殊化。如构造特殊函数，特殊数列，特殊方程，图形中的特殊点，特殊位置，参数的特殊值，等等。
在合情推理与演绎推理中也体现一般与特殊的数学思想。
二、高考数学命题对数学思想方法考查的特点及对高三复习的启迪
1.高考对数学思想的考查贯穿全卷，以主干知识为主线，以数学思想为灵魂。对考生进行全方位的考查，重点考查函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想、分类与整合思想，数学思想方法的掌握情况能很好地体现学生的能力层次。题型多样化，有涉及选择题，填空题，解答题，难度有大有小，大部分压轴题都综合考查多个数学思想，可以说从头到尾整套试卷都渗透着数学思想方法的考查。
2.对高三数学复习的几点启示。
（1）抓牢思想本质，以不变应万变。在高三第一轮复习中，一方面要落实好概念、法则、公式、定理等基础知识；另一方面要注重数学思想方法的培养，要挖掘出体现数学知识在形成与发展、应用的过程中所隐含的数学思想方法，体验数学思想方法形成的过程。如解题中常用的数形结合思想方法就可以使抽象的数学问题直观化、形象化，做到心中有图，见数想图。
（2）深化解题思路，提高解题效率。在高三第二轮复习中，考生必须经过大量的解题训练来提高解题能力。要想让学生从题海战术中解脱，必须让学生自觉形成用数学思想方法来指引。从高考试题解答情况来看，靠记忆还是能解基础题，靠理解才能解中档题，靠好的数学素养才能解决高档题。教师在讲解试题的过程中，应该让学生体会到知识是载体，方法是手段，思想是灵魂。因此，学生自己要多注重反思、总结，从而归纳解题方法，提炼数学思想方法，最终形成自己内在的思想方法。
（编辑：朱泽玲）
