赵晶晶
摘 要：设
为互异的奇素数，p1≡p2≡1(mod6)为奇素数，运用初等方法得出了三次方程x3-53=Ty2无正整数解的一个充分条件.
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关键词 ：三次方程；整数解；奇素数；Legendre符号；同余
中图分类号：O156.1文献标识码：A文章编号：1673-260X（2015）08-0001-02
基金项目：云南省教育厅科学研究基金项目“某些Diophantine方程的整数解研究（2014Y462）”
三次方程
x3-53=Ty2(T是无平方因子的正整数) (1)
是一类基本而重要的方程，但目前结果还不多见，其结论主要为：
(Ⅰ)当T不含素因子2时，文[1][2]给出了T不含3或6k+1型素因子时方程(1)的全部非平凡正整数解；文[3]-文[7]分别给出了T含6k+1型素因子时方程(1)无正整数解的充分性条件.
(Ⅱ)当T不含素因子2时，文[9]给出了T含6k+1型素因子时方程(1)无正整数解的充分性条件.
当T含素因子2同时还含6k-1型素因子的情况目前还没有相关结果，本文主要研究T含素因子2、2个6k+1型素因子，同时含至少一个6k+1形素因子的情况，即证明了如下定理：
2 定理证明
证明 设(x，y)是方程(2)的一组整数解.因x3-53=(x+5)(x2+5x-25)，而gcd(x-5，x2+5x+25)=gcd(x-5，(x-5)2+15(x-5)+75)=gcd(x-5，75)=gcd(x-5，3×52)，即
gcd(x-5，x2+5x+25)=gcd(x-5，3×52)(3)
当x≡0(mod5)时，此时5|(x-5)，故5|gcd(x-5，3×52)，令x=5x1，则不定方程(2)可化为
53(x13-1)=Ty2 (4)
由(3)知25|y，于是令y=25y1，则方程（3）可化为53(x13-1)=252Ty12，则有x13+1=5Ty12=2×5p1p2Qy12=2p1p2(5Q)y12，即
x13-1=2p1p2(5Q)y12(5)
当Q≡7，23(mod24)时，有5Q≡11，19(mod24).而此时p1≡1(mod24)，p2≡13(mod24)，取D=5Q，则满足引理1的条件(ⅰ)，故由引理1得方程(4)在条件(Ⅰ)下仅有平凡解(x1，y1)=(1，0)，所以方程(2)在条件(Ⅰ)下仅有平凡解(x，y)=(5，0).
因为Q≡1，5(mod12)，则Q≡1，5，13，17(mod24).
当Q≡1，17(mod24)时，5Q≡5，13(mod24).而p1≡13(mod24)，p2≡19(mod24)，取D=5Q，则满足引理1的条件(ⅱ)，故由引理1得方程(4)在条件(Ⅱ)下仅有平凡解(x1，y1)=(1，0)，所以方程(2)在条件(Ⅱ)下仅有平凡解(x，y)=(5，0).
当Q≡5，13(mod24)时，5Q≡1，17(mod24).而此时p1≡13(mod24)，p2≡19(mod24)，取D=5Q，则满足引理1的条件(ⅲ)，故由引理1得方程(4)在条件(Ⅰ)下仅有平凡解(x1，y1)=(1，0)，所以方程(2)在条件(Ⅰ)下仅有平凡解(x，y)=(5，0).
综上有，当x≡0(mod5)时方程(2)在题设条件下仅有平凡解(x，y)=(5，0).
下面分别讨论这8种情形下方程(2)的解的情况.
Ⅰ 由x2+5x+25=b2解得x=-21，-8，-5，0，3，16代入x- 5Ra2，得TU2=x-5=-26，-13-10，-5，-2，11显然无解，故该情形方程(2)无整数解.
Ⅱ 由a2≡0，1，4(mod8)得2a2≡0，2(mod8).根据奇偶性质得x2+5x+25必为奇数，则b2必为奇数，即b2≡1(mod8).
当Q≡7，23(mod24)时，x=2Qa2+5≡3，5(mod8)，则x2+5x+ 25≡1，3(mod8)，又p1≡1(mod24)，p2≡13(mod24)，故p1p2b2≡5(mod8)，则有1，3≡x2+5x+25=p1p2b2≡5(mod8)，矛盾，故在条件(ⅰ)下方程(2)无整数解；
当Q≡1，5(mod12)时，x=2Qa2+5≡5，7(mod8)，则x2+5x+25 ≡3，5(mod8)，又p1≡13(mod24)，p2≡19(mod24)，故p1p2b2≡7(mod8)，则有3，5≡x2+5x+25=p1p2b2≡7(mod8)，矛盾，故在条件(ⅱ)下方程(2)无整数解.
综上有该情形方程(2)无整数解.
Ⅲ 仿情形Ⅱ的证明可得在条件(ⅰ)下方程(2)无整数解.
综上有该情形方程(2)无整数解.
Ⅳ 仿情形Ⅲ在条件(ⅱ)下的证明知该情形在条件(ⅰ)下方程(2)无整数解；仿情形Ⅱ的证明可得在条件(ⅱ)下方(2)无整数解，故该情形方程(2)无整数解.
综上有该情形方程(2)无整数解.
情形Ⅷ 仿情形Ⅶ在条件(ⅱ)下的证明知该情形在条件(ⅰ)下方程(2)无整数解；仿情形Ⅱ的证明可得条件(ⅱ)下方程(2)无整数解.故该情形方程(2)无整数解.
综上有，当x?堍0(mod5)时方程(2)在题设条件下无整数解.
综上所述，三次不定方程(2)在题设条件下仅有平凡解(x，y)=(5，0).
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参考文献：
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