江苏省海门中学（226100）何振华
2014年11月26—27日，我校成功举办了省“教学新时空·名校课程”现场推进会暨江苏省海门中学第30届教学“百花奖”全国展示活动（江苏教育网进行了网络直播）。笔者有幸执教《三角函数的周期性》一课。三角函数的周期性作为三角函数的图像与性质的起始课，概念性强，本节课是笔者基于“给学生需要的数学概念课堂”的需求进行的一次实践和尝试。
一、课堂实录
1.创设情境
同学们，作为一个海门人，我们身处长江边，你有没有在长江边看过日出，今天老师请大家看一段长江边日出的视频。
下面是两个同学看完视频后的对话
甲：日出美吗？
乙：美。
甲：那我们去长江边看日出去？
乙：明天不行，我要上学。
甲：后天？
乙：不行，我要上学。
甲：没关系，日出天天可以看，等你放假后一起去？
乙：好的。
师：从两同学的对话中，你认为日出这一自然现象具有什么规律？
生：过了一定时间现象重复出现（定期重现），可用成语“周而复始”。
师：自然界和生活有许多“周而复始”的现象，我们的课前音乐《花心》的歌词中也有类似周而复始现象的描述，你发现了吗？
生：“春去春回来”“花谢花会再开”“黑夜又白昼”“潮起又潮落”。
师：很好，那我们最近研究的三角函数中有没有这种“周而复始”的现象？
生：有，三角函数线。
2.概念生成
那我们一起研究一下三角函数线的变化，以正弦线为例，利用几何画板演示正弦线的变化(如图1)。
师：正弦线的变化有什么特征？
图1每转过一圈，函数值就重复出现。
师：很好，如果用代数式表示？
生：sinx=sin(x+2π)=sin(x+4π)=。。。
师：上述等式成立与x的取值有关系吗？
生：没有。
师：如果我们记f(x)=sinx，那么上式就可以表示成f(x)=f(x+2π)=f(x+4π)=。。。
那么自变量x的取值范围是什么？
生：任意角。
师：很好，那么你能用语言表述一下吗？
生：自变量每增加2π，函数值不断重复出现。
师：非常棒，这是不是和我们刚才研究的“日出”的周而复始现象很像，那么是不是只有正弦函数具有这一特征？如果还有其他函数，那么它增加的量是多少？
生：余弦函数也有这一特征，也是自变量每增加2π，函数值不断重复出现。
师：还有么？
生：正切函数也有这一特征，不过增量为π。
师：三角函数具有的这种自变量每增加一定的量，函数值重复出现的性质称为三角函数的周期性。
板书课题：三角函数的周期性。
师：如果有一个函数，自变量每增加1，函数值就重复出现，你认为它是否具有周期性？
生：有周期性。
师：也就是说，定量并不一定是“2π,π”，那么对于这些一般函数的周期性我们如何用数学符号语言刻画？
沉默
师：大家可以讨论一下？
学生讨论，约2分钟后。
师：你们有结论么？
生：我们组的结论是“对于函数f(x)，如果存在常数T，使f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)叫做周期函数，常数T叫做周期函数的周期”。
师：很好，对这一小组的结论，大伙还有没有补充？
生：我们认为，应当是非零常数T。
师：理由？
生：若T为0，则自变量就没有增量。
师：非常好。还有么？
生：自变量x应为定义域内的任意值。
师：太棒了，这样我们就得到了周期函数的定义：“一般地，对于函数f(x)，如果存在非零常数T，使定义域内的每一个x值，都满足f(x+T)=f(x)，那么函数f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期”。
3.概念理解
师：请看问题
问题1填空：对于函数f(x)，如果定义域内的每一个x值，都满足，那么函数f(x)为函数。
生：我认为可以填 “f(x+T)=f(x)（T≠0）”；周期。
师：很好。还有其他答案么？
沉默，突然某学生提出。
生：我认为，根据以前学的奇偶性的定义，可以填“f(－x)=f(x)”；偶。
师：很好，函数的奇偶性和函数的周期性有些条件完全一样，我们可以类比学习。研究奇偶性时，我们要求函数的定义域关于原点对称，你知道为什么吗？
生：这是因为要使得x在定义域的同时，-x也要在定义域内。
师：非常好。那么你认为周期函数对定义域有什么要求？
生：x在定义域的同时，x+T也要在定义域内。
师：正确。
请看下一问题：
问题2函数y=sinx(0≤x≤10π)是不是周期函数？
生：不是，当x=10π时，10π+2π不在定义域内。
师：很好。看下一问题：
问题3判断下列说法是否正确，并简述理由。
（1）x=π3时，sin(x+2π3)≠sinx，则2π3一定不是函数y=sinx的周期；
（2）x=7π6时，sin(x+2π3)=sinx，则2π3一定是函数y=sinx的周期。
生：第一个正确，第二个不正确。判定一个常数不是周期函数的周期，举一个反例即可。
判定一个常数是周期函数的周期，要使定义域内的每一个x值，都满足f(x+T)=f(x)。
师：回答的很好，理由总结的不错。这两个问题主要是考察大家对定义中每一个值的理解。再看下一问题：
问题4判断下列函数是否为周期函数？
（1）f(x)=cos2x;（2）f(x)=x;（3）f(x)=1。
生：第一个是周期函数，2π是它的周期；
师：f(x)=x是不是周期函数？
生：我找不到它的周期，不知道是不是？
师：f(x)=x的图像是递增的一直线，自变量增加一定量，函数值也在增加。所以不是周期函数。由此可见：单调函数不是周期函数。
生：f(x)=1应该是的，但我发现有很多数都可以作为它的周期。
师：能不能说的更具体点？
生：所有非零常数都是它的周期。
师：很不错，常数函数是周期函数，且周期为非零常数。你认为正弦函数y=sinx的周期为多少？
生：2π,4π,。。。都是它的周期，应该是k·2π(k∈Z,k≠0)。
师：余弦函数y=cosx呢？正切函数呢？周期函数的周期是否唯一？
生：余弦函数周期k·2π(k∈Z,k≠0)，正切函数为kπ(k∈Z,k≠0)。周期函数的周期不唯一。
师：已知定义在R上周期函数f(x)的周期为T，则2T是f(x)的一个周期吗？你能推广么？
生：是，f(x+2T)=f((x+T)+T)=f(x+T)=f(x)， kT(k∈Z,k≠0)也是它的周期。
师：由于周期函数有无数个周期，对我们的进一步研究带来不便，你能否选择一个最具有代表性的来表述？
生：正周期，最小的。
师：那我们统一一下，规定：“最小正周期：对于周期函数f(x)，如果在它的所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做函数f(x)的最小正周期”。
师：你知道：正弦函数的最小正周期为多少？余弦函数呢？ 正切函数呢？
生：2π，2π，π。
师：周期函数的最小正周期一定存在么？理由？
沉默
师：那大家讨论一下。
生：我们组认为，最小正周期不一定存在，如y=sinx(x≤0)没有正周期，当然也就没有最小正周期。
师：很好，这是从有没有正周期的角度进行否定。那如果一个周期函数有正周期，是不是有最小正周期？
生：我们认为，还是不一定存在，反例是常数函数f(x)=1，就没有最小正周期。
师：非常棒。周期函数的最小正周期不一定存在，我们的定义“如果……，那么……”
从现在开始，我们研究的周期没有特别说明就是指函数的最小正周期。
4.概念运用
师：请看问题：求函数f(x)=cos2x的周期。
师：你认为我们可以用什么知识求函数周期？
生：周期函数的定义。
板演：解：设f(x)的周期为T，则f(x+T)=f(x)，即cos2(x+T)=cos2x对任意实数x都成立。
cos(2x+2T)=cos2x对任意实数x都成立。
师：下面怎么办？还能用什么知识？
生：y=cosx最小正周期为2π这一结论。
师：怎么用？
生：把2x看成一个整体，
令u=2x，cos(u+2T)=cosu对任意实数u都成立。
又y=cosu的周期为2π，
所以使得cos(u+2T)=cosu对任意实数u都成立的最小正值为2π,
所以2T=2π,即T=π。
所以函数f(x)=cos2x的周期为π。
师：利用了周期函数的定义，结合y=cosx最小正周期为2π这一结论，采用整体的观点研究，非常棒。
师：你能快速的求出下列函数的周期么？（1）f(x)=2cos2x;（2）f(x)=cos(2x+π3)。
生：它们的周期为π。
师：你认为函数f(x)=Acos(ωx+φ) (其中A,ω,φ为常数，A≠0,ω>0)的周期和哪些元素有关？
生：只和ω有关，和A,φ都没有关系。
师：不错，那函数f(x)=Acos(ωx+φ) (其中A,ω,φ为常数，A≠0,ω>0)的周期是。
生：2πω。
师：那函数f(x)=Asin(ωx+φ) (其中A,ω,φ为常数，A≠0,ω>0)的周期是多少？
生：也是2πω。
师：那如果函数f(x)=Asin(ωx+φ)的ω<0呢？
生：2π－ω。
师：函数f(x)=Asin(ωx+φ)和f(x)=Acos(ωx+φ)(其中A,ω,φ为常数，A≠0,ω≠0)的周期为2π|ω|。
这可以作为公式用来求正余弦函数的周期。
师：我们再拓展一下：若函数y=f(x)的周期为T，则函数y=Af(ωx+φ)（A≠0,ω≠0）的周期为多少？
生：T|ω|。
师：求三角函数的周期有哪些方法？
生：利用定义求解，也可以用公式求解。
5.概念拓展
师：很好，从数的角度我们有两种策略，那么形的角度呢？你认为周期函数的图像具有什么特征？
生：应该也不断重复。
师：非常好。你能不能根据图2中函数f(x)=cos2x的图像求出它的周期？
图2
生：只需看间隔多久即可，应该是π。
师：太棒了，这说明我们还可以利用图像求出函数的周期。
6.课堂小结
师：请你用几个关键词谈谈本节课的收获？
生1：周期函数、最小正周期。
生2：如何求函数的周期。
师：大家说的都非常好，老师也总结了几个关键词概括“定义、公式、思想、方法”，请大家认真体会。
下课。
二、执教感悟
笔者认为我们教学的对象是学生，因此数学概念课应从学生的需要出发，创设学生需要的概念课堂。
1.给学生需要的概念引入
概念引入的目的是让学生觉得数学概念不是凭空产生的，它来源于现实生活，具有广泛性，我们有研究概念的必要性。因此在教学设计时，要从学生的实际出发，选择符合学生熟悉的实例（或旧知）引入，从实例中提炼概念，让学生自然的接受概念，意识到研究概念的必要性。本节课选择日出引入，其实也可以选择课程表、钟表等其他实例引入，给学生需要的概念引入。
2.给学生需要的概念生成
学生需要什么样的概念生成？这就回归到另一个问题，我们的概念课为什么需要概念生成这一环节？概念生成的目的是通过概念生成过程培养学生能力的发展。因此笔者认为概念生成应由学生自主完成，如果是自然式生成，需要大量的时间投入，这是我们课堂不允许的，那么我们可以通过教学设计，让学生在我们预设下自主生成、发展。我们在教学设计中要依据认知的需要，从特殊到一般，从具体到抽象，层层深入，设计问题。通过问题串逐步推进学生思维的发展，让学生在自然而然学习中完成概念生成。
3.给学生需要的概念理解过程
数学概念是高度概括的，往往具有一定的抽象性。因此数学概念课应给学生需要的概念理解过程。那么学生需要什么样的概念理解过程？笔者认为采用什么方式很重要，这一环节我们可以设计一些小题，用小题带概念，强化概念。我们的小题应基于概念，可以是概念辨析，也可以概念运用，通过小题逐字逐句敲打概念，让学生自然而然的理解概念。
4.给学生需要的概念学习方法及数学思想
与知识相比，概念学习的方法更重要。因此数学概念课堂还因给学生需要的概念学习方法。让学生领悟从特殊到一般的归纳推理、特殊到特殊的类比推理、从一般到特殊的演绎推理；掌握独立思考、自主探究，不断反思、归纳、概括，大胆表述的学习方式；同伴互助、小组交流的合作研究模式。本课中对函数奇偶性的回顾，目的就是让学生将奇偶性和周期性类比学习，加深对概念的理解。数学概念的学习要注重方法的养成，数学思想的渗透。
5.给学生需要的数学知识
我们的数学课堂时间有限，学生的认知水平，决定了对某些数学知识只能搁置，而给学生需要的数学知识。鉴于高中数学对函数周期性的要求，主要围绕三角函数的周期性展开，因此本节课中对周期函数的定义的拓展，周期函数的某些性质没有过多深入。
总之，我们的概念课堂要从学生的实际需要出发，给学生于自然的概念引入，自由的概念生成，自主的概念探究，自在的学习过程，这正是李善良老师所强调的“教自然的数学，建自由的课堂”。
三、名师观察
在评课过程中，省数学教研员李善良博士及特级教师石鑫等作了点评，现摘录部分如下：
1.概念的引入自然
一节课的引入做的好不好，往往决定一节课的成败。作为是概念课的引入应当解决几个问题，学什么？为什么学？怎么让学生自然的学？本节课利用日出这一自然现象引入，贴近学生的生活实际，结合两学生的对话，引导学生对日出这一自然现象的规律的探究，结合课前音乐《花心》，进一步让学生感受周期现象的广泛性，激发学生研究周期的欲望，比较完善解决了概念引入的三个问题。
2.概念生成过程自然
概念生成过程是学生能力提升的过程，也是培养学生学习兴趣的过程。这一过程要舍得，要流畅。本节课在这块做足文章，通过问题链，从三角函数线到正弦函数的周期，拓展到三角函数的周期，再延伸到一般函数的周期定义，再从周期函数的定义到最小正周期的概念，层层深入，逐步推进学生思维的发展，学生在不知不觉中完成了概念生成，过程自然流畅。
3.概念理解过程自然
概念理解过程是进一步认识概念的环节，可以采用让学生研读概念和做题两种方式，本节课处理这一问题的方式是小题强化。通过几个小题，辨析、强化周期函数的定义中“非零常数T”“定义域内的每一个自变量x”“ 恒等式f(x+T)=f(x)”。最小正周期概念“如果…,那么…”。逐字逐句敲打概念，让学生自然的理解概念，起到很好的效果。
4.自然的教会学生如何探究概念
方法比知识更重要，所以数学课堂应该教会学生方法。本节课中周期函数的定义、难点的突破均采用小组探究，学生自主概括，其他同学不断发展、完善的方式，这是数学探究的基本策略；将“函数的奇偶性”和“函数的周期性”进行类比，注重知识之间的联系，迁移学习；课堂小结由学生归纳，这样做有助于培养学生总结、反思的好习惯。不仅仅给予学生知识，还自然的给予学生学习概念的方式方法。
