江苏省苏州市高新区第一中学（215011）吴鹏
一、设计缘起
闯关小游戏是以闯关获胜为目的flash小游戏的通称,玩家通过熟练的操作技巧，通过游戏中设置的各种关卡考验，最终完成游戏目标。将闯关小游戏和数学课堂结合起来又会如何呢？笔者一次复习课中在所带的理科实验班做了尝试，过程如下。
二、设计方案
已知数列{an}满足a1=3,a2=6,an=an－1－an－2(n∈N,n≥3)。
（1）求数列的前几项，直到你能发现规律为止；
（2）这种规律用数学语言可描述为；
（3）据此规律, a2013应为；
（4）证明你发现的规律；
（5）猜想数列{an}的一个通项公式。
如果你觉得猜想有一些困难的话,请思考（6）并亲手作实验。
（6）在直角坐标系中描出点An(n,an)(n=1,2,…,6,…),然后用光滑的曲线将点列连结,你见过类似的曲线吗?
（7）现在你能猜想数列{an}的通项公式吗?你能证明吗?
如果以上（1）-（7）关,有哪一关受阻,请直接跳到第(8)关。
（8）设α=1－3i2,β=1+3i2,以α、β为两根的一元二次方程是x2=；
（9）第（8）中的方程称为an=an－1－an－2的特征方程,则用α、β可将an表示为an=an-1an-2；
（10）于是{an－αan－1}是数列；
（11）同理{an－βan－1}是数列；
（12）通过了（8）-（11）关,求an表达式就水到渠成了,祝贺你能求得an=；
如果有兴趣的话,请继续你的旅途。
（13）在复数中,有著名的棣美佛公式(cosθ+isinθ)n=cosnθ+isinnθ,这个公式可比二项式定理简洁多了；
（14）你能解释（7）与（12）两个结论的等价性吗？
三、教学实录
师：（多媒体逐步出示上述问题）。
（1）：生：计算数列{an}的前6项，便能发现规律a1=3,a2=6,a3=3,a4=－3,a5=－6,a6=
－3,an+3=－an(n∈N*)。
最多计算数列{an}的前12项，即可发现规律a7=3,a8=6,a9=3,a10=－3,a11=－6,a12=－3。
因此我们猜想数列{an}的规律是:以6为周期的数列。
（2）：
生：类比函数周期性定义将猜想的规律用数学语言描述为:对任意n∈N*，都有an+6=an。
（3）：
生： a2013=a6×335+3=a3=3。
（4）：
生：（板演）由递推关系式an=an－1－an－2
an－1=an－2－an－3?an=－an－3(n≥4)。
设任意n∈N*,n+3代替上式中的n得
an+3=－an，故an+6=－an+3=－(－an）=an。
（5）：
绝大部分学生面露难色。
师：出示（6）。
设计意图：由（4）中的数列的周期性,我们联想到三角函数的周期性,于是我们可以尝试用三角函数来改造数列的项。
（6）：
师：大家先描点后连线。
生：描点连线后,发现一个令人振奋的信号:点An有可能位于正弦曲线上。
图1
师：为什么猜想位于正弦曲线上？
生：可由特殊到一般a1=3=6·12=6sinπ6;a2=6·1=6sinπ2=6sin3π6;a3=6·12=6sin5π6;a4=6·(－12)=6sin7π6;a5=6·(－1)=6sin9π6;a6=6·(－12)=6sin11π6。于是我们猜想
an=6sin2n－16π(n∈N*)。
因此我们可用正弦函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω>0)来拟合数列{an}。
由图1可知：A=6，T2=3=πω,ω=π3，故f(x)=6sin(π3x+φ)。观察最高点坐标(2,6），代入f(x)=6sin(π3x+φ)得sin(φ+2π3)=1,φ+2π3=2kπ+π2,φ=2kπ－π6,令k=0，得φ=－π6，故f(x)=6sin(π3x-π6)=6sin2x-16π。
设计意图：子问题（5）对学生思维能力要求较高,很多学生无法顺利完成,因此我设计了一个数学实验,力求创建一个直观的情境,借助视觉感受激发联想,解决问题。
（7）：生：由于点列An(n,an)在f(x)=
6sin2x-16π上，故猜想an=6sin2n-16π(n∈N*)。
设计意图：对于猜想an=6sin2n-16π，我们想用数学归纳法来证明它。但稍加分析就能发现本题故障为递推式ak+1=ak－ak－1,牵涉三项之间的关系,仅凭ak我们无法导出ak+1,因此必须同时假设n=k－1,n=k时,命题成立(相应的,在奠基步骤中也要增加起点n=1,n=2),但教材中没有涉及,那么如何找到一个只涉及两项的递推式呢?显然这一结论在问题（4）中,即an+6=an。
当n=1时，a1=3=6sin2·1－16π,故n=1，猜想成立；
假设n=k(k∈N,k≥1)时，猜想成立，即
ak=6sin2k－16π,当n=k+6时，ak+6=ak=
6sin2k－16π=6sin(2k－16π+2π）=
6sin2(k+6）－16π,故n=k+6时，猜想成立。
上述证明了{an}的一个子列{a6n-5}成立。同理可证其他五个子列即{a6n-4}、{a6n-3}、{a6n-2}、{a6n-1}、{a6n}也成立，从而猜想成立。
（8）：生：
由α+β=1，αβ=|α|2=1，故α，β是方程x2－x+1=0的两个虚根，所以x2=x－1。
设计意图：由an=an－1－an－2到方程x2－x+1=0的两个虚根，此处思维跨越很大，所以教师直接给出α、β，将问题的求解导向另一个方向——方程的虚根。
（9）：生：∵x2=x－1=(α+β)x－αβ,故an=(α+β)an－1－αβan－2。
（10）：生：
∵an－αan－1=β(an－1－αan－2),令bn=an－αan－1,则bn-1=an-1－αan－2，bn=βbn-1。故{bn}是以b2=a2－αa1为首项，β为公比的等比数列。即{an－αan－1}是以a2－αa1为首项，β为公比的等比数列。
（11）：同理{an－βan－1}是以a2－βa1为首项，α为公比的等比数列。
（12）：an－αan－1=(a2－αa1)βn－2①,an－βan－1=(a2－βa1)αn－2②,①×β-②×α得(β－α)an=(a2－αa1)βn－1－(a2－βa1)αn－1，β=1+3i2,α=1－3i2,a1=3,a2=6,a2－αa1=33·3+i2,a2－βa1=33·3－i2,3ian=333+i2(1+3i2)n－1
－3－i2(1－3i2)n－1,an=31+3i2(1－3i2)n－1+1－3i2(1+3i2)n－1=3(1－3i2)n－2+
(1+3i2)n－2。
设计意图：由于（10）、（11）两问已经完成了问题的化归，即将非常规数列转化成了基本数列，求数列通项就易如反掌了。
（13）：师：棣美佛公式给出复数乘方的运算法则。
（14）：生：
1－3i2=cos(－π3)+isin(－π3),1+3i2=cosπ3+isinπ3。(1－3i2)n－2=cos(－n－23π)+isin(－n－23π)=cosn－23π－isinn－23π,(1+3i2)n－2=cosn－23π+isinn－23π,故an=6cosn－23π=6cos2－n3π=6sin(π2－2－n3π)=6sin2n－16π。
设计意图：这样就证明了（7）与（12）横跨两个领域，结构迥异，但其本质却是等价的，殊途同归，从而说明了实与虚是可以相互转化的。
四、课后反思
问题链作为数学知识结构的一种表现形式，是以问题为主线，以发现问题——解决问题——再发现问题为全过程，以适应客观世界运动变化和数学严谨逻辑思维之需要为目的的数学思维方法。本节课则是根据学生的心理特点将问题链隐藏在耳熟能详的闯关游戏中，设计中根据“问题链”产生的方式，包含了：推广链、引申链、综合链等。
1.推广（收缩）链：
推广是事物发展所遵循的规律之一。当我们从研究一个对象过渡到研究包含该对象的一个集合，或从研究一个较小的集合过渡到研究一个包含该集合的一个更大的集合时，就是推广，反之就是收缩。如由问题（4）中的数列的周期性,我们联想到三角函数的周期性,于是我们可以尝试用三角函数来改造数列的项。这样的推广，不仅提高了课堂教学效率，更有利于加深学生对数学对象之间（纵向或横向）联系的深层理解。
2.引申链：
引申和推广的区别在于：推广是一种特殊的引申，它的原则是由特殊到一般的推进。而引申则只要具有某种联系就可以进行。引申反映了另一类范围较广的交叉联系，它具有多向性或分枝性，可以从不同方向进行派生。从不同侧面对问题进行引申就可得到差异性质不同的命题链。如在问题（7）中对于猜想an=6sin2n-16π，我们想用数学归纳法来证明它。但稍加分析就能发现本题故障为递推式ak+1=ak－ak－1牵涉三项之间的关系,仅凭ak我们无法导出ak+1,因此必须同时假设n=k－1,n=k时,命题成立(相应的,在奠基步骤中也要增加起点n=1,n=2),但教材中没有涉及,那么如何找到一个只涉及两项的递推式呢?显然这一结论在问题（4）中,即an+6=an。对问题的引申研究可以加深对事物间的亲缘关系的认识，有利于了解概念或是定理的旁系家族,构建合理、科学、优质的数学认知结构。
3.综合链：
综合链是为了达到某一特定目的而设计的。有时为了解决一个难度较大或灵活性较强的问题，往往需要通过一些中间问题的过渡，使中间问题的解决提供中间结果和解题方法，从而起到过渡作用。一般在给出问题的大前提后，把问题分成几问，再对各问层层加深，不断提高。而各问题间既相对独立，又具有或紧或松的联系。因此，寻找问题综合链对数学思维的方向引导能起到较好的作用，能培养学生综合分析问题和解决问题的能力，而这也是本节课整体设计的宗旨。
问题链方法是以问题为主线，以发现问题——解决问题——再发现问题为全过程，以适应客观世界运动变化和数学严谨逻辑思维之需要为目的的数学思维方法。创设学生喜闻乐见的形式实施“闯关游戏”教学方式有利于学生系统进行数学命题的学习，潜移默化的训练，有助于学生“命题域、命题系”的形成，通过推广链、引申链、综合链使得学生对命题的理解更加深刻、灵活，问题的解决更易于实现。
