分析数量关系感悟抽象思想

　《课程标准（2011版）》指出：“数学思想蕴含在数学知识形成、发展和应用的过程中，是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，如抽象、分类、归纳、演绎、模型等. ”其中最基本的数学思想是抽象、推理、模型. 在义务教育阶段应结合具体的教学内容逐步渗透数学的基本思想.
　　数学抽象是对现实世界具有数量关系和空间形式的真实材料进行加工，提炼出共同的本质属性，用数学语言表达进而形成数学理论的过程. 用任何数学知识解决纯数学问题或联系实际问题都需要计算、推理、构建模型，都离不开抽象. 关于抽象思想，史宁中教授认为就抽象的深度而言，大体可以分为三个层次：一是把握事物的本质，把复杂的问题简单化、条理化，能够清晰地表达，称为简约阶段；二是去掉具体的内容，利用概念、图形、符号、关系表述包括已经简约化了的事物在内的一类事物，称为符号阶段；三是通过假设和推理建立法则、模式或者模型，并能够在一般意义上解释具体事物，称为普适阶段. 在提倡情境教学的数学课堂上，创设情境，而后抽象成数学模型并进行解释与应用恰恰符合史教授所提的抽象的第二和第三层次，那抽象的第一层次——简约阶段在哪里体现呢？本人结合“单价、数量和总价”这一数量关系的形成过程谈谈我的看法.
　　一、渗透数量关系，抽象思想初感悟
　　一个数学思想的形成需要经历一个从模糊到清晰，从理解到应用的长期发展过程，需要在不同数学内容的教学中通过提炼、总结、理解、应用等循环往复的过程逐步形成，学生只有经历这样的过程，才能逐步“悟”出数学知识、技能中蕴含的数学思想.
　　如：在教学二年级上册第78页例3用乘法解决问题时，在“怎样解答”环节让学生用画图表征“几个几”，强调用乘法的意义选择乘法运算解决问题后， “解答正确吗？”这个环节借用小精灵的话对数学关系进行总结和概括“求3个文具盒的总钱数，可以用1个文具盒的价钱乘买的个数”，让学生初步感悟“单价 × 数量 = 总价”这一数量关系. 接着在解决“想一想：买7块橡皮，一共多少钱？”这个问题时，同样是“解答正确吗？”这个环节让学生尝试说说“求7块橡皮的总钱数，可以用1块橡皮的价钱乘买的块数”进行巩固. 然后，在“你还能提出其他用乘法解决的问题并解答吗？”这个环节中鼓励学生仿照例题说想法. 最后课堂小结时老师根据一系列的购物活动让学生明确：求物品的总钱数，可以用1个物品的价钱乘买的个数. 通过以上三个层次的教学，在学生深化理解乘法意义的同时，把一系列看似复杂的购物活动简单化、条理化，并教会学生用一句话清晰表达解题方法，初步感悟抽象思想.
　　又如教学二年级下册第42页例3用除法解决问题，在“解答正确吗？”环节让学生说出检验的方法时，根据以往积累的经验，学生很自然就说出“用56元除以一个地球仪8元，算出买了7个地球仪”这句话，渗透 “总价 ÷ 单价 = 数量”这一数量关系. 在“想一想”环节，解决“24元买了6辆汽车，一辆汽车多少钱？”在“解答正确吗”这个环节用同样用一句话说出解题的方法，渗透“总价 ÷ 数量 = 单价”这一数量关系. 当然，在渗透数量关系时切记要把握好“度”，二年级的教学只要求学生能结合具体情境多次体验、感悟、积累“乘法模型”和“除法模型”的典型实例，初步感悟抽象思想，并不需要进行高度的抽象概括，所以数量、单价和总价这些名词不宜在这里出现.
　　二、分析数量关系，抽象思想再感悟
　　数学知识和数学思想是紧密联系的，数学知识的发生、发展过程，也是数学思想发生和凸显的过程，抽象思想也不例外. 例如：教学三年级上册第71例8用乘除两步计算解决含有“归一”数量关系的实际问题，在“分析与解答”环节，通过小精灵和学生的对话提示思考的步骤，分析数量关系，用一句话“3个碗18元，用除法能求出1个碗的价钱”清晰表达了解题方法，渗透“总价÷数量=单价”；接着同样用一句话“要买8个这样的碗需要多少钱，就是求是8个这样的价钱相加的和，用乘法计算”归纳解决方法，渗透“单价×数量=总价”. 同册教材第72页例9用乘除两步计算解决含有“归总”数量关系的实际问题时以同样的方法引导学生分析数量关系解决问题.
　　例8和例9的教学是在学生掌握了“乘法模型”和“除法模型”，对“单价、数量和总价”这一数量关系有了一定的认识和感悟的基础上进行的教学，所以在学生学习用“乘除两步解决问题”这个知识，分析“归一”“归总”题型的数量关系的同时，实现了抽象思想的再感悟. 教材除了用例题以“问题解决”形式让学生在巩固乘除法意义的学习中逐步感悟“单价、数量和总价”这一数量关系外，还在三年级上下册的一些练习中不断出现这一数量关系的习题，让学生积累丰富的解题经验，为数量关系的提炼打下基础.
　　三、提炼数量关系，领悟抽象思想
　　抽象思想需要学生通过不断重复、不断深入思考，才能逐步“领悟”. 四年级上册第52页例4，“单价、数量和总价”的数量关系正式出现，宣告了史宁中教授指出的抽象思想三个层次中的第一阶段——简约阶段结束，正式进入第二层次——符号阶段.
　　教材以下面一组题目呈现：
　　（1）篮球每个80元，买了3个要多少钱？
　　（2）鱼每千克10元，买4千克要多少钱？
　　由于学生在前面的学习中已经积累了丰富的经验，所以很容易就能解决问题，接着通过学生的对话提出“这两个问题有什么共同点”，引导学生从两个问题的相关性入手，归纳出两个问题的共同点，进而提炼出“单价、数量和总价”三个概念，最后以小精灵的问题“你知道单价、数量与总价之间的关系吗？”放手让学生用简洁的语言归纳数量关系：单价 × 数量 = 总价. 这之后的一系列的学习活动无非就是让学生充分巩固这一数量关系，并通过各种练习提炼出另外的两个数量关系式“总价 ÷ 数量 = 单价”和“总价 ÷ 单价 = 数量”.
　　教材对于“单价 × 数量 = 总价”这个数量关系的教学经历了二年级在检验环节的初步感悟，到三年级在“分析与解答”环节的再次感悟，最后到四年级以例题形式正式提炼，可谓用心良苦. 这样的安排无疑是符合7-9岁的孩子正处于具体思维向形象思维过渡这个年龄和认知特点的.
　　综上所述，数学思想方法贯穿于数学知识的形成、发展和应用的过程中，作为最基本的三大数学思想之一的抽象思想也不例外，它需要教师们充分挖掘教材的编写意图，根据学生的年龄特点和认知特点，根据教材不同程度的要求在教学中不断引导，逐步渗透.
　　备注：本文是广州市教育科学“十二五”规划名师专项课题“小学数学问题解决能力培养实践研究”的研究成果（课题编号：1201440720）.
　　【参考文献】
　　[1]王光明，范文贵主编.新版课程标准解析与教学指导//小学数学[S].北京：北京师范大学出版社，2012.7.
　　[2]教育部基础教育课程教材专家工作委员会组织编写.义务教育数学课程标准解读：2011年版[S] .北京：北京师范大学出版社，2012.2.